Lassen Sie uns zunächst über Maxwells Gleichungen sprechen; Wir wissen, dass die Maxwell-Gleichungen unter der Lorentz-Transformation unveränderlich sind, schließlich hat die ganze Relativitätstheorie deshalb angefangen. Zu sagen, dass ein Gesetz unter der Lorentz-Transformation invariant ist, ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass dasselbe Gesetz für jeden Beobachter in jedem Referenzrahmen gilt (das heißt, wenn ich die Bedeutung des Wortes invariant in diesem Zusammenhang richtig verstehe ) .
Das Problem ist, dass dies für die Maxwell-Gleichung nicht eindeutig gilt; Um dieses Problem zu lösen, schreiben wir die Maxwell-Gleichungen unter Verwendung von Tensoren, diese Art der offensichtlich invarianten Formulierung der Maxwell-Gleichung ist so schön, dass sie einen eigenen Namen verdient: Kovariante Formulierung des klassischen Elektromagnetismus. (Um genau zu sein, bezieht sich dieser Begriff auf den Ausdruck aller Gesetze des Elektromagnetismus auf unveränderliche Weise, aber die Maxwell-Gleichungen sind immer noch die wichtigsten.) Aber warum sollte das
Schreiben eines Gesetzes unter Verwendung von Tensoren implizieren, dass dieses Gesetz unter der Lorentz-Transformation sicherlich unveränderlich ist? Denn: Tensoren sind invariant unter jeder Koordinatentransformation 1 , also schreibt sich jedes Gesetz in der Form: Tensor gleich Tensor ist sicher invariant unter jeder Transformation, einschließlich der von Lorentz Indizes skalieren von
Zu
, also sollten die Tensoren in den offensichtlich unveränderlichen Gesetzen natürlich innerhalb desselben Bereichs skaliert werden.)
Das ist, was ich derzeit über dieses Thema verstehe, ist das richtig?
Außerdem und vielleicht hauptsächlich verstehe ich nicht, warum die invariante Formulierung des Elektromagnetismus als kovariant bezeichnet wird ; Der Begriff kovariant scheint mir hier fehl am Platz zu sein.
Und schließlich: Wenn meine Argumentation richtig ist, müssen Gesetze in der Form geschrieben werden: Tensor gleich Tensor sollte gleichzeitig invariant bei jeder Art von Koordinatentransformation sein, nicht nur bei der von Lorentz; Selbst wenn also die Lorentz-Transformation eine ganz andere Form hätte, wären dennoch mit Tensoren geschriebene Gesetze wie die Maxwell-Gleichung sowieso invariant. Das erscheint mir wirklich seltsam, ist das wahr? Ich meine: das würde bedeuten, dass zum Beispiel die Maxwell-Gleichung unabhängig von der Art der Transformation invariant wäre; es bestünde also überhaupt keine besondere Beziehung zu Lorentz' Transformation.
[1]: Natürlich sind die Komponenten des Tensors unter einer beliebigen Transformation nicht konstant, aber die Komponenten ändern sich so, dass sie die Änderung der Basisvektoren kompensieren, sodass der Tensor insgesamt gleich bleibt.
Angenommen, Sie haben zwei Systeme Und in jedem System haben wir Koordinaten und Vektorpotentiale , , Und . Da beide Und sind Vektoren, von denen wir wissen, dass sie sich wie folgt transformieren:
,
damit erhalten wir auch das Transformationsgesetz für die Derivate:
Das ist dasselbe wie die Transformation von . Wenn Sie nun ein Gesetz wie die Maxwell-Gleichungen betrachten:
Dies wird sich wie folgt umwandeln:
Dies bedeutet, dass beide Gleichungen, die in Bezug auf die Koordinaten und Vektoren jedes Systems geschrieben sind, dasselbe Verhalten vorhersagen, da gezeigt werden kann, dass sich die Gleichungen im gestrichenen System auf die im nicht gestrichenen System reduzieren.
Die vorherige Diskussion betraf hauptsächlich die Spezielle Relativitätstheorie oder lineare Koordinatentransformationen. Die vollständig kovarianten Gleichungen für eine generische Koordinatentransformation sind etwas komplexere Maxwell-Gleichungen in der gekrümmten Raumzeit , aber die zugrunde liegende Idee ist die gleiche, die Wurzel des Problems liegt in der Tatsache, dass Ableitungen nicht gleich transformieren in krummlinigen Koordinaten benötigen sie ein zusätzliches Stück, um sich wie eine richtig kovariante Ableitung zu transformieren .
Aber warum sollte das Schreiben eines Gesetzes unter Verwendung von Tensoren implizieren, dass dieses Gesetz unter der Lorentz-Transformation sicherlich unveränderlich ist?
Das Gesetz selbst ist nicht unveränderlich, es wird entsprechend transformiert, wenn es einen Index hat, transformiert es sich wie ein Vektor und so weiter. Aber der entscheidende Punkt ist, dass das Gesetz in einem System dasselbe vorhersagt wie das Gesetz in jedem anderen.
Charlie