Tensor und Kovarianz verstehen

Ein bisschen Kontext: Wenn Sie die Spezielle Relativitätstheorie lesen, stellen die Regeln, die Sie lernen, nicht sicher, dass ein wohlgeformter "tensorialer" Ausdruck in jedem Koordinatensystem denselben Tensor definiert, sondern nur in jedem Trägheitsrahmen (und diese beziehen sich auf jeden andere speziell durch Lorentz-Transformationen). Erst wenn Sie zur Allgemeinen Relativitätstheorie übergehen, lernen Sie normalerweise, wie man Ausdrücke schreibt, die in jedem Koordinatensystem gültig sind (das sind die Grundlagen der Differentialgeometrie). Die Maxwell-Gleichungen, die Sie schreiben, sind Lorentz-kovariant , aber im Allgemeinen nicht kovariant .

Wie Sie (beeindruckend!) bereits erraten haben, ist das Vorhandensein von Derivaten typischerweise das Hauptproblem. Um etwas allgemein Kovariantes zu erhalten, müssen Sie Ableitungen ersetzen$\partial_\alpha$durch kovariante Ableitungen $\nabla_\alpha$.

Allerdings sind die Derivate in Ihrem speziellen Fall eigentlich nicht das Problem. Kovariante Ableitungen kommen in einer gekrümmten Raumzeit ins Spiel oder wenn es um nichtlineare Koordinatentransformationen geht, die Sie beide nicht haben. Ich denke normalerweise nicht an "Galileische Kovarianz", also vertraue mir nicht zu 100%, aber ich denke, die Gleichungen, die du aufschreibst, werden tatsächlich unter einer Galileischen Transformation erhalten bleiben. Was zerbrechen wird, ist die Beziehung zwischen$F$Und$G$, nämlich die Gleichung

$$G^{\alpha\beta} = \frac{1}{2} \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} F_{\gamma\delta}.$$ Der$\epsilon$Tensor ist explizit in Bezug auf die Raumzeitmetrik definiert$g_{\alpha\beta}$, was ein Konzept ist, das in der galiläischen Raumzeit keinen Sinn ergibt , daher kann diese Gleichung nicht durch galiläische Transformationen bewahrt werden.