Lorentz-Invarianz des Lorentz-Kraftgesetzes

Question

Lorentz-Invarianz des Lorentz-Kraftgesetzes

Atom

Ich studiere im Selbststudium das Buch Special Relativity and Classical Field Theory von Friedman und Susskind . Beim Lesen von Abschnitt 6.3.4 Lorentz-Invariante Gleichungen tauchte die folgende Frage auf .

In dieser Vorlesung leiten sie das Lorentzkraftgesetz aus der Lagrangefunktion ab

\begin{matrix} (6.13) & L (T, X^{ich}, {\dot{X}}^{ich}) = - M \sqrt{1 - ({\dot{X}}^{ich})^{2}} + e {\dot{X}}^{μ} A_{μ} (T, X^{ich}), \end{matrix}

$\mathcal L(t, X^i, \dot X^i) = -m\sqrt{1-(\dot X^i)^2} + e\dot X^\mu A_\mu(t, X^i),\tag{6.13}$ Wo

A

$A$ ist ein 4-Vektorfeld. Jetzt lösen sie die Euler-Lagrange-Gleichungen und erhalten

\begin{matrix} (6.34) & M \frac{D U_{μ}}{D τ} = e F_{μ v} U^{v}, \end{matrix}

$m {dU_\mu\over d\tau} = e F_{\mu\nu}U^\nu,\tag{6.34}$ für jede

μ

$\mu$ . Hier,

U

$U$ ist die 4-Geschwindigkeit und

F_{μ ν} := \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}

$F_{\mu\nu}:=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ für alle

μ, ν

$\mu, \nu$ . Außerdem wurde Einsteins Summenschreibweise verwendet.

Nun behaupten sie, dass diese Gleichung unter Lorentz-Transformationen "offensichtlich unveränderlich" ist, und sie geben den Grund an, dass "alle Objekte in den Gleichungen 4-Vektoren sind und alle wiederholten Indizes richtig kontrahiert sind". Ich verstehe darunter nichts.

Frage: Ich denke, um die Lorentz-Invarianz einer beliebigen Gleichung zu zeigen, besteht eine Möglichkeit darin, einfach sicherzustellen, dass alle in der Gleichung vorkommenden Größen entweder Skalare oder 4-Vektoren sind. Daher müssen wir für die obige Gleichung zeigen, dass der Komplex aus vier Zahlen $(F_{\mu\nu} U^\nu)_{\mu = 0}^3$ ist tatsächlich ein 4-Vektor ( d. h . er transformiert sich tatsächlich wie ein 4-Vektor bei einem Lorentz-Boost in $x$ -Richtung und unter räumlichen Rotationen).

Aber ich stecke fest, um das zu beweisen. Jede Hilfe ist willkommen.

Antworten (2)

Lorentz-Invarianz des Lorentz-Kraftgesetzes

ohneVal · Answer 1

Sie sollten das formulierte Argument in zwei Teile aufteilen.

Teil 1: "Alle in der Gleichung vorkommenden Objekte sind 4-Vektoren oder Lorentz-Tensoren"

Teil 2: "Wenn Teil 1 gilt und Indizes kontrahiert werden, werden Lorentz- kovariante Größen erhalten"

Ich werde versuchen, umzuformulieren, was gezeigt werden soll. Eine Gleichung wird als (Lorentz-)kovariant bezeichnet, wenn unter einer beliebigen Lorentz-Transformation die funktionale Form der Gleichung dieselbe ist. Lassen Sie uns also zuerst Teil 2 der Erklärung angreifen, der einfacher ist. Nehmen wir an, wir beginnen mit Mengen $U_\mu, F_{\mu\nu}$ , von denen wir annehmen, dass sie ein 4-Vektor und ein Lorentz-Tensor sind. Erinnern wir uns zunächst an die definierende Eigenschaft einer Lorentz-Transformation, $\Lambda^\mu_{\;\;\nu}$ :

η_{μ v} Λ_{a}^{μ} Λ_{β}^{v} = η_{a β}

$\eta_{\mu\nu} \Lambda^{\mu}_{\;\;\alpha} \Lambda^\nu_{\;\;\beta} = \eta_{\alpha\beta}$ Wo

η

$\eta$ ist die Minkowski-Metrik. Dann haben wir, dass 4-Vektoren und (Lorentz)-Tensoren wie folgt transformiert werden:

U^{' μ} = Λ_{v}^{μ} U^{v}

$U'^\mu = \Lambda^\mu_{\;\;\nu}U^\nu$ Und

F_{μ v}^{'} = Λ_{μ}^{a} Λ_{v}^{β} F_{a β} = Λ_{μ}^{a} F_{a β} (Λ^{- 1})_{v}^{β}

$F'_{\mu\nu} = \Lambda_\mu^{\;\;\alpha} \Lambda_\nu^{\;\;\beta}F_{\alpha\beta}= \Lambda_\mu^{\;\;\alpha} F_{\alpha\beta} (\Lambda^{-1})^{\beta}_{\;\;\nu}$ wobei wir die herkömmliche Schreibweise verwendet haben

Λ_{ν}^{μ} = (Λ^{- 1})_{ν}^{μ}

$\Lambda_\nu^{\;\;\mu} = (\Lambda^{-1})^\mu_{\;\;\nu}$ .

Lassen Sie uns dann Ihre Gleichung nehmen und anwenden $\Lambda_\sigma^{\;\;\mu}$ auf beiden Seiten (denken Sie daran, dass diese Lorentz-Transformation nicht davon abhängt $\tau$ ) und versuchen Sie, alles in Primzahlen umzuschreiben:

\begin{aligned} M Λ_{σ}^{μ} \frac{D U_{μ}}{D τ} & = e Λ_{σ}^{μ} F_{μ v} U^{v} = e Λ_{v}^{μ} F_{μ v} η^{v a} U_{a} \\ M \frac{D U_{σ}^{'}}{D τ} & = e Λ_{σ}^{μ} F_{μ a} η^{v a} ((Λ^{- 1})_{v}^{β} Λ_{β}^{a}) U_{a} \\ M \frac{D U_{σ}^{'}}{D τ} & = e (Λ_{σ}^{μ} F_{μ a} η^{v a} (Λ^{- 1})_{v}^{β}) (Λ_{β}^{a} U_{a}) \\ M \frac{D U_{σ}^{'}}{D τ} & = e (Λ_{σ}^{μ} F_{μ a} η^{v a} Λ_{v}^{β}) U_{β}^{'} \\ M \frac{D U_{σ}^{'}}{D τ} & = e (Λ_{σ}^{μ} F_{μ a} η^{v β} Λ_{v}^{a}) U_{β}^{'} \\ M \frac{D U_{σ}^{'}}{D τ} & = e F_{σ v}^{'} η^{v β} U_{β}^{'} = e F_{σ v}^{'} U^{' v} \end{aligned}

$\begin{align} m \Lambda_\sigma^{\;\;\mu}\frac{{\rm d}U_\mu}{{\rm d}\tau} &= e \Lambda_\sigma^{\;\;\mu} F_{\mu\nu} U^\nu = e \Lambda_\nu^{\;\;\mu} F_{\mu\nu}\eta^{\nu\alpha} U_\alpha\\[7pt] %%% m\frac{{\rm d}U'_\sigma}{{\rm d}\tau} &= e \Lambda_\sigma^{\;\;\mu} F_{\mu\alpha}\eta^{\nu\alpha} ((\Lambda^{-1})^{\beta}_{\;\;\nu} \Lambda^\alpha_{\;\;\beta}) U_\alpha\\[7pt] %%% m\frac{{\rm d}U'_\sigma}{{\rm d}\tau} &= e \Big(\Lambda_\sigma^{\;\;\mu} F_{\mu\alpha}\eta^{\nu\alpha}(\Lambda^{-1})^{\beta}_{\;\;\nu}\Big) \Big(\Lambda^\alpha_{\;\;\beta} U_\alpha\Big)\\[7pt] %%%% m\frac{{\rm d}U'_\sigma}{{\rm d}\tau} &= e \Big(\Lambda_\sigma^{\;\;\mu} F_{\mu\alpha}\eta^{\nu\alpha}\Lambda^{\;\;\beta}_\nu\Big) U'_\beta\\[7pt] %%% m\frac{{\rm d}U'_\sigma}{{\rm d}\tau} &= e \Big(\Lambda_\sigma^{\;\;\mu} F_{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta}\Lambda^{\;\;\alpha}_\nu\Big) U'_\beta\\ %%% m\frac{{\rm d}U'_\sigma}{{\rm d}\tau} &= e F'_{\sigma\nu}\eta^{\nu\beta} U'_\beta = e F'_{\sigma\nu} U'^\nu \end{align}$

Wo ich in der zweiten und vorletzten Zeile eine Identität eingefügt habe, habe ich die Definitionsgleichung einer Lorentz-Transformation verwendet. Wie Sie also sehen können, sieht die Gleichung in den transformierten (geboosteten oder gedrehten) Größen funktional genauso aus wie zuvor.

Dieses „Spiel“ lässt sich immer mit kontrahierten Indizes machen, deshalb stellen Kontraktionen kovariante Größen dar (Vollkontraktionen, also keine freien Indizes, stellen Skalare und damit Invarianten dar).

Jetzt für Teil 1 ist es schwieriger zu zeigen, dass dies wohldefinierte Lorentz-Vektoren und Tensoren sind. Die Vier-Geschwindigkeit ist vielleicht einfacher zu verstehen, wenn Sie sich darüber im Klaren sind, dass eine Wortleitung ein geometrisches Objekt ist, daher unabhängig von Koordinaten und einen wohldefinierten Tangentenvektor in Bezug auf seine Eigenzeit ergibt, sodass sie sich per Konstruktion als Lorentz-Vektor transformieren muss.

Ähnliches lässt sich über den Feldstärketensor sagen. Es ist formal eine antisymmetrische Zweierform. Es transformiert sich also im Allgemeinen unter jeder Koordinatentransformation als Tensor. Auch aus dieser Sicht sind Lorentz-Transformationen nur eine spezifische Koordinatenänderung, die die Metrik respektiert.

Formalere Aussagen über sie können gemacht werden, indem man sich mehr mit der Geometrie der Theorie befasst, aber ich glaube, Sie können mit diesen Informationen verstehen, was gefragt wird, nämlich das, was ich oben geschrieben habe, beweist gleichzeitig, warum $F_{\mu\nu}U^\nu$ verhält sich wie ein 4-Vektor.

Können Sie mir etwas zeigen, das erklärt, warum die definierende Eigenschaft einer Lorentz-Transformation $\Lambda$ Ist $(\Lambda^{-1})^\mu_{\;\;\alpha}\eta_{\mu\nu}\Lambda^\nu_{\;\;\beta}=\eta_{\alpha\beta}$ ?
Da ich nur mit Susskinds Buch vertraut bin und zuvor keinen Hintergrund in Tensoren hatte (außer nur der Wikipedia-Seite darauf), können Sie bestätigen, ob es in Ordnung ist, es anzuzeigen $\eta_{\mu\nu}$ als die $\mu$ -te Reihe und $\nu$ -ten Spalteneintrag in der Matrix $\eta$ ?
Macht es auch Sinn darüber zu sprechen $\eta^\mu_{\;\;_\nu}$ oder $\Lambda_{\mu\nu}$ ?
Für den ersten Kommentar hat es mit den Symmetrien des Minkowski-Raums zu tun, die Metrik wird verwendet, um Abstände und Winkel in einer Mannigfaltigkeit zu messen, sodass eine Transformation, die die Metrik nicht ändert, allgemein mit Invarianten verknüpft wird. Zweiter Kommentar, kurze Antwort ja, aber seien Sie vorsichtig beim Erhöhen und Senken von Indizes, suchen Sie nach "Tensor-Algebra-Gymnastik", um mehr zu lernen und zu üben. Für den letzten Kommentar sollten diese "Objekte" niemals erscheinen, wenn Sie die Dinge richtig machen.
Jetzt, wo ich mich mit der Tensorrechnung vertraut gemacht habe, denke ich, dass Sie in der definierenden Eigenschaft der Lorentz-Transformation schreiben wollten $\Lambda^T$ und nicht $\Lambda^{-1}$ . Richtig?
Jetzt konnte ich alles verstehen! Und ja, das war eine nette Antwort, danke!
Ja, danke für die Korrektur, ich werde es bearbeiten. Ich kann die Bücher von Weinberg empfehlen, wenn Sie mehr Details wünschen.

PNS · Answer 2

Sie müssen nur den ersten Kontakt aufnehmen $F_{\mu\nu}$ Und $U^\mu$ mit dem index $\nu$ . Dann kann die Ableitung mit dem 4-Vektor von oben unter Verwendung des Index kontrahiert werden $\mu$ . Das gibt Ihnen einen Scaler, der unter der Lorentz-Transformation invariant ist.

Entschuldigung, groß, ich verstehe nicht, was Sie meinen mit „Die Ableitung kann mit dem 4-Vektor von oben unter Verwendung des Index kontrahiert werden $\mu$ .“
Angenommen, Sie können die Ableitung nach rechts bringen (Husten, Husten), können Sie dann die erhalten $dU_\mu$ auf der Unterseite, die dann in Bezug auf die zusammengezogen werden kann $\mu$ Index.

Lorentz-Invarianz des Lorentz-Kraftgesetzes

Atom

Antworten (2)

ohneVal

Atom

Atom

Atom

ohneVal

Atom

Atom

ohneVal

Atom

PNS

Atom

PNS

Kovariante Formulierung der Elektrodynamik

Welche Probleme mit dem Elektromagnetismus führten Einstein zur Speziellen Relativitätstheorie?

Vektorfelder und Tensoren in E&M

Wie transformiert die Lorentz-Transformation ΛμνΛμν\Lambda^{\mu}{}_{\nu}?

Ist die Zeit ein Vektor im Minkowski-Raum? [Duplikat]

Relativistische Grundfrage - Viervektoren, Lorentz-Matrix

Warum bricht die Wahl einer Zeit die Kovarianz?

Verwirrung über die mathematische Natur des elektromagnetischen Tensorendes der E-, B-Felder

Wie ist Magnetismus ein Ergebnis der speziellen Relativitätstheorie?

Warum ist der räumliche Term für kontravariante 4-Gradienten negativ, während für andere 4-Vektoren der kovariante Teil räumlich negativ ist?