Kovariante Formulierung der Elektrodynamik

IMO "kovariante Formulierung" der Elektrodynamik bedeutet, dass die Gleichungen über verschiedene Lorentz-Rahmen hinweg invariant bleiben sollten. Nun gibt es im Großen und Ganzen zwei Möglichkeiten, elektrodynamische Gleichungen zu schreiben.

  1. mit 3-Vektor-Notation

    (Gl. 11.127 von JDJackson) ∂ ρ ∂ T + ∇ . J = 0

  2. mit 4-Vektor-Notation und Tensoren

    (Gl. 11.129 von JDJackson) ∂ a J a = 0

Eine auf eine dieser beiden Arten geschriebene elektrodynamische Gleichung bleibt (formmäßig) über alle Lorentz-Rahmen hinweg invariant. Warum wird dann letztere als „kovariante Formulierung“ bezeichnet, erstere jedoch nicht?

Dies ist Semantik, aber die letzte wird manchmal als "explizit kovariant" bezeichnet. Auch technisch gesehen ist es eher "invariant" als kovariant, da die rhs ein Skalar ist.
@ZeroTheHero Invariant ist ein Sonderfall von kovariant; es ist völlig in Ordnung, es kovariant zu nennen.
Es gibt auch den Ansatz der (äquivalenten) Differentialformen, bei dem das Obige wie folgt geschrieben würde D ⋆ J = 0 .

Antworten (1)

Es ist wahr, dass die erste Gleichung in allen Lorentz-Rahmen dieselbe Form hat, aber es ist nicht offensichtlich, es sei denn, Sie wissen wie ρ Und J individuell transformieren. Zum Beispiel die ähnlich aussehende Gleichung

∂ ρ ∂ T + k ∇ ⋅ E = 0

(Wo k ist eine Konstante) würde in anderen Lorentz-Rahmen nicht gleich aussehen, da sich Ladungsdichte und elektrisches Feld unter Lorentz-Boosts unterschiedlich verändern. Andererseits ist die zweite Gleichung eindeutig Lorentz-kovariant, da jede Kontraktion zwischen einem kovarianten und kontravarianten Index eines Lorentz-Tensors automatisch kovariant ist (dh diese Kontraktion hat dieselbe algebraische Form in jedem anderen Lorentz-Rahmen).

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