Vektorfelder und Tensoren in E&M

Die Aussage aus den Wikipedia-Artikeln ist, wie geschrieben, falsch. Der EM-Feldtensor - als Tensor - ändert sich unter Änderung des Referenzrahmens. Es ist kovariant , aber nicht invariant unter der Lorentz-Gruppe, während das elektrische und magnetische Feld beides nicht sind, aber sie sind kovariant unter der Rotationsgruppe.

Die elektrischen und magnetischen Felder sind gewöhnliche, nichtrelativistische 3er-Vektoren, dh sie transformieren sich als Elemente der fundamentalen Darstellung der Rotationsgruppe$\mathrm{SO}(3)$als$E_i \mapsto \sum_j R_{ij}E_j$für jede Matrix$R \in \mathrm{SO}(3)$. Man kann sie als Tensoren vom Rang 1 unter dieser Gruppe bezeichnen, die im euklidischen Raum leben. ¹

Der EM-Feldtensor ist ein relativistischer Tensor zweiten Ranges , dh er ist ein Objekt mit zwei Indizes, die sich unter der Lorentz-Gruppe transformieren$\mathrm{SO}(1,3)$als$F_{\mu\nu} \mapsto \Lambda^\sigma_\mu\Lambda^\rho_\nu F_{\rho\sigma}$für alle$\Lambda \in \mathrm{SO}(1,3)$. Da es antisymmetrisch ist,$F$hat 6 unabhängige Einträge - die eins zu eins den drei Einträgen des elektrischen Felds und den drei Einträgen des magnetischen Felds zugeordnet sind. Der elektromagnetische Tensor lebt im Gegensatz zu den elektrischen und magnetischen Feldern im Minkowski-Raum und ist daher bei der Relativitätstheorie natürlicher zu berücksichtigen.

¹ Genau genommen ist das Magnetfeld ein Pseudovektor$B_{ij}$, was im euklidischen 3D-Raum ein antisymmetrischer Tensor vom Rang 2 ist (siehe hier für mehr über Pseudovektoren vs. Vektoren), der isomorph auf seinen normalen Vektor abgebildet wird$\tilde{B}_k = \epsilon^{ijk}B_{ij}$solange wir überlegen$\mathrm{SO}(3)$und nicht$\mathrm{O}(3)$. Der$F_{\mu\nu}$ist aufgebaut als$F_{ij} = B_{ij}$Und$F_{0i} = E_i$, Wo$i,j$sind räumliche Indizes aus$1$Zu$3$.