Beweisen Sie, dass eine Ableitung bezüglich eines kovarianten 4-Vektors ein kontravarianter Vektoroperator ist

Ich weiß, dass Sie in der speziellen Relativitätstheorie beweisen können, dass sich die Ableitung in Bezug auf eine kontravariante 4-Vektor-Komponente wie ein kovarianter Vektoroperator transformiert, indem Sie die Kettenregel verwenden, aber ich kann nicht herausfinden, wie man die Umkehrung beweist, dass die Ableitung mit bezüglich einer kovarianten 4-Vektor-Komponente transformiert sich wie ein kontravarianter Vektoroperator.

Funktioniert die Kettenregel nicht nach dem gleichen Muster?
Ich glaube nicht. Aber wenn Sie mir zeigen könnten, wie es geht, wäre ich Ihnen dankbar.

Antworten (2)

∂ ' μ = ∂ ∂ X μ ' = ∂ X ' λ ∂ X μ ' ∂ X σ ∂ X ' λ ∂ X v ∂ X σ ∂ ∂ X v = G μ λ Λ λ σ G σ v ∂ ∂ X v = Λ v μ ∂ v
Also kontravariante.

Lassen Sie uns die inversen Transformationen für 4-Vektor-Komponenten haben:

(1) R = R ' + Γ u ( u ⋅ R ' ) C 2 + γ u T ' , T = γ ( T ' + ( u ⋅ R ' ) C 2 ) .

Hier Γ = ( γ − 1 ) u 2 C 2 .

Dann mit der Kettenregel

∂ ∂ T ' = ∂ T ∂ T ' ∂ ∂ T + ∂ X J ∂ T ' ∂ ∂ X J , ∂ ∂ X ich ' = ∂ T ∂ X ich ' ∂ ∂ T + ∂ X J ∂ X ich ' ∂ ∂ X J

Sie können durch die Verwendung erhalten ( 1 )

∂ T ∂ T ' = γ , ∂ X J ∂ T ' = γ u J , ∂ T ∂ X ich ' = γ u ich C 2 ,

∂ X J ∂ X ich ' = δ ich J + Γ u J u ich C 2 ⇒
∇ ich ' = γ u ich C 2 ∂ ∂ T + ∑ J ( ∂ ∂ X J δ ich J + Γ u ich u J C 2 ∂ ∂ X J ) = γ u ich C 2 ∂ ∂ T + ∂ ∂ X ich + Γ C 2 u ich ( u ∇ ) .

Aus diesen Gleichungen können Sie erhalten

1 C ∂ ∂ T ' = 1 C γ ∂ ∂ T + 1 C γ ∑ J u J ∂ ∂ X J = γ ( 1 C ∂ ∂ T + 1 C ( u ∇ ) ) ,

∇ ' = ∇ + Γ u C 2 ( u ∇ ) + γ u C 2 ∂ ∂ T .
So ∂ a Operator transformiert als kontravarianten Vektor.

Danke für deine Antwort. Ist dies der einfachste Weg, es zu beweisen?
@ user2582713: meine Antwort nur in der expliziten Form der Aussage
∂ ∂ X μ ' = ∂ X v ∂ X μ ∂ ∂ X v = Λ μ   v ∂ ∂ X v ,
was zeigt, dass sich die Ableitung unter der Lorentz-Transformation als kontravarianter Vektor transformiert:
∇ ' β = Λ β   a ∇ a .
Ich fürchte, ich bin verwirrt. Ist das nicht die Ableitung nach einer kontravarianten Komponente? Und sollte in der Ableitung nach dem ersten Gleichheitszeichen nicht eine Primzahl stehen?
@ user2582713: Ausgehend von inversen Transformationen des kovarianten 4-Vektors erhalte ich eine direkte kontravariante Transformation für die 4-Ableitung. Du meintest diesen hier, nicht wahr?
Ich verstehe nicht, warum Sie die Lorentz-Transformation verwenden würden. Wir sollen eine Aussage beweisen, die viel allgemeiner ist als die Relativitätstheorie. Es ist eine Tatsache über Differentialgeometrie.
@BenCrowell Könnten Sie einen solchen allgemeinen Beweis liefern?
@ user2582713: Ich habe in meinem ersten Kommentar einen allgemeinen Beweis (für lineare Transformationen) geliefert. Ich habe Ihre Frage unaufmerksam gelesen, also bin ich zu dem Schluss gekommen, dass es um die spezielle Relativitätstheorie geht.
@AndrewMcAddams Ich studiere spezielle Relativitätstheorie. Was mich verwirrt, ist, dass zum Beweis, dass die Ableitung in Bezug auf eine kontravariante Komponente kovariant ist, eine einzelne Zeile unter Verwendung der Kettenregel erforderlich ist, während zum Beweis der Umkehrung so viele Zeilen benötigt werden, wie Ihre Antwort dauerte. Ich wollte wissen, ob es eine Antwort auf meine Frage gibt, die so einfach ist wie die Verwendung der Kettenregel.
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