Co und Kontravariante: Tensoren oder Komponenten?

Ja, die kontravarianten Komponenten verweisen auf ein anderes geometrisches Objekt als die kovarianten Komponenten. Die kovarianten Komponenten sind Komponenten eines Vektors aus dem dualen Raum in den Vektorraum, aus dem die kontravarianten Komponenten stammen. Die beiden Vektorräume sind isomorph , sodass wir kontravariante Elemente von Vektoren mit übereinstimmenden Elementen der Covektoren aus ihrem Raum identifizieren können, indem wir eine einfache lineare Abbildung oder "Metrik" verwenden.

Wenn wir uns mit Matrizen befassen, identifizieren wir oft Matrizen, die eine Spalte als Vektoren haben, und Matrizen, die eine Zeile als Covektoren haben. Das Erhöhen und Senken von Indizes ist also analog zur Matrix-Transponierungsoperation, wenn die Komponenten des Vektors reell sind. Wenn sie nicht reell sind, verwenden wir normalerweise die komplex konjugierte Transponierte, um die Länge eines beliebigen Vektors zu einer positiven semidefiniten Zahl zu machen.

In der Quantenmechanik behandeln wir Ket-Vektoren normalerweise als Vektorraum und Bra-Vektoren als Covektorraum.

Warum nennen wir sie also kovariant und kontravariant? Es hat mit der Tatsache zu tun, dass wir wollen, dass die Skalare, die durch Anwendung des kovarianten Vektors auf einen kontravarianten erzeugt werden, unter irgendeiner Symmetrietransformation (z. B. Rotation, Lorentz-Transformationen) invariant sind. Angenommen, wir haben einen kontravarianten Vektor, der sich wie folgt ändert:

Der Grund für diese Nomenklatur liegt darin, dass wir uns die Vektoren selbst gerne als unveränderlich unter der Transformation vorstellen, also schreiben wir:

Weitere Informationen finden Sie im Abschnitt zur Tensorformulierung im Wikipedia-Artikel zur Lorentz-Transformation.

Bei orthogonalen Koordinatensystemen sind die kovariante und die kontravariante Komponente gleich. Der Unterschied zeigt sich, wenn Sie schiefe Koordinatensysteme haben. Hier ist eine ziemlich gute Erklärung des Unterschieds mit einigen Illustrationen:

http://www.farmingdale.edu/faculty/peter-nolan/pdf/relativity/Ch04Rel.pdf

Da wir es mit einem endlichdimensionalen metrischen Raum zu tun haben, ist es in Ordnung, nur an ein Feld zu denken$\mathbf v$und zwei Basen$\mathbf e_\mu$Und$\mathbf e^\nu$so dass$\mathbf e_\mu \cdot \mathbf e^\nu = \delta_\mu^\nu$. Dann$v^\mu$Und$v_\nu$sind nur die Koeffizienten für$\mathbf v$in den beiden Basen:$\mathbf v = v^\mu \mathbf e_\mu = v_\nu \mathbf e^\nu$.