Die Definition der Transponierung der Lorentz-Transformation (als gemischter Tensor)

Question

Die Definition der Transponierung der Lorentz-Transformation (als gemischter Tensor)

Spielbm

Im Anhang des Lehrbuchs der Gruppentheorie in der Physik von Wu-Ki Tung ist die Transponierung einer Matrix wie folgt definiert: Gl. (I.3-1)

{A^{T}}_{ich}^{J} = {A^{J}}_{ich} .

${{A^T}_i}^j~=~{A^j}_i.$

Das ist für mich extrem verwirrend, da im Fall der Lorentz-Transformation ${\Lambda_\nu}^\mu$ wird im Text (z. B. Kap.10) als Matrix betrachtet, und man kann das zeigen (z. B. siehe Eq.(2.3.10) of The Quantum Theory of Fields Vol.1 by Steven Weinberg)

{(Λ^{- 1})}^{v}_{μ} = G_{μ σ} {Λ^{σ}}_{a} G^{a v} .

${{(\Lambda^{-1})}^\nu}_\mu ~=~g_{\mu\sigma}{\Lambda^\sigma}_\alpha g^{\alpha\nu}.$

Insbesondere ist es auf der gleichen Linie definiert (der obigen Gleichung in Weinberg)

{Λ_{μ}}^{v} = {(Λ^{- 1})}^{v}_{μ} .

${\Lambda_\mu}^\nu ~=~ {{(\Lambda^{-1})}^\nu}_\mu.$

Die obige Definition ist ganz natürlich, da sie als die metrischen Tensoren angesehen werden kann $g_{\mu\nu}$ wurden verwendet, um zu erhöhen und zu verringern und entsprechende tiefgestellte und hochgestellte Zeichen des Originals ${\Lambda^\sigma}_\alpha$ .

Daher fiel mir auf, dass die Definition im Buch Weinberg nicht mit der im Buch Tung übereinstimmt: in einem von ihnen das Symbol ${\Lambda_\mu}^\nu$ ist als Umkehrung der Lorentz-Transformation von kontravarianten Vektoren definiert, während im anderen Fall dasselbe Symbol als Transponierte der ursprünglichen Matrix definiert ist. Es scheint jedoch verwirrend, da im Buch Tung dies ausdrücklich erwähnt wird $g_{\mu\nu}$ kann verwendet werden, um einen kovarianten Tensor aus einem kontravarianten Tensor zu erhalten (siehe Anhang I) und ${\Lambda^\sigma}_\alpha$ wird als Tensor behandelt (siehe zB Kap.10). Es scheint also einen Konflikt zu geben oder wie sollte man die in (I.3-1) definierte Bedeutung der Transponierung richtig verstehen, die umgeschrieben werden kann als

{A_{ich}}^{J} = {(A^{T})^{J}}_{ich} .

${{A}_i}^j~=~{(A^T)^j}_i.$

Hier ist eine Zusammenfassung meiner Verwirrung: Es kommt auf zwei Arten, dass ${\Lambda_\mu}^\nu$ bezieht sich auf die ursprüngliche Matrix ${\Lambda^\nu}_\mu$ . (1) Tung impliziert das ${\Lambda_\mu}^\nu = {(\Lambda^T)^\nu}_\mu$ , und 2) ${\Lambda_\mu}^\nu \equiv g_{\mu\sigma}{\Lambda^\sigma}_\alpha g^{\alpha\nu} = {{(\Lambda^{-1})}^\nu}_\mu$ , vorausgesetzt man behandelt ${\Lambda_\mu}^\nu$ als gemischter Tensor. Die Frage ist: Sind sie konsistent?

Gemäß der Erklärung von Oscar Cunningham verstehe ich, dass die in Tungs Lehrbuch eingeführte Definition zu einem gewissen Widerspruch führt.

QMechaniker

Kommentar zur Frage (v4): Es scheint, dass Weinberg nicht die Definition einer transponierten Matrix diskutiert, sondern lediglich Eigenschaften einer Lorentz-Transformation verwendet.

Spielbm

Genau, aber Weinberg definiert das Symbol

{Λ_{μ}}^{ν}

${\Lambda_\mu}^\nu$ als Umkehrung einer Matrix, die in Tung verwendet wird, um die Transponierte der (gleichen) Matrix zu definieren.

QMechaniker

Nein, Weinberg gibt keine Definition (über das Senken und Erhöhen von Indizes mit der Metrik hinaus). Er verwendet eine Eigenschaft von Lorentz-Matrizen.

Spielbm

Bitte korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege.

{(Λ^{- 1})}^{ν}_{μ} = g_{μ σ} {Λ^{σ}}_{α} g^{α ν}

${{(\Lambda^{-1})}^\nu}_\mu ~=~g_{\mu\sigma}{\Lambda^\sigma}_\alpha g^{\alpha\nu}$ ist dann eine Eigenschaft

{Λ_{μ}}^{ν} = {(Λ^{- 1})}^{ν}_{μ}

${\Lambda_\mu}^\nu ~=~ {{(\Lambda^{-1})}^\nu}_\mu$ sagt, es ist konsistent mit "erhalten

{Λ_{μ}}^{ν}

${\Lambda_\mu}^\nu$ durch Anheben und Absenken von Indizes von

{Λ^{σ}}_{α}

${\Lambda^\sigma}_\alpha$ ". Letzteres kann (sozusagen) als Definition von angesehen werden

{Λ_{μ}}^{ν}

${\Lambda_\mu}^\nu$ , besonders Seite an Seite mit den von Tung eingeführten Konventionen (I.3-1).

QMechaniker

Nein, Tung definiert

(Λ^{T})_{μ}^{ν}

$(\Lambda^T)_{\mu}{}^{\nu}$ , die sich grundsätzlich von unterscheidet

Λ_{μ}^{ν}

$\Lambda_{\mu}{}^{\nu}$ .

Spielbm

Du hast Recht. Folgendes habe ich verstanden, zuerst umschreiben (I.3-1) als

{A_{i}}^{j} = {(A^{T})^{j}}_{i}

${A_i}^j={(A^T)^j}_i$ , verwenden Sie es dann als Definition von (element

(i, j)

$(i,j)$ of) eine neue Form der Matrix auf der linken Seite (bevor angenommen wird, dass sie durch Erhöhen und Verringern von Indizes erhalten werden kann) durch das (Element

(i, j)

$(i,j)$ einer Matrix

{B^{j}}_{i}

${B^j}_i$ auf der) rechten Seite des Ausdrucks. Die obige "Definition" wird mit der bei Weinberg verglichen. Denn intuitiv (was der Ursprung meines Missverständnisses sein kann) kann man folgendes "definieren".

{(A^{T})^{j}}_{i} = {A^{i}}_{j}

${(A^T)^j}_i = {A^i}_j$ Und

{(A^{T})_{j}}^{i} = {A_{i}}^{j}

${(A^T)_j}^i = {A_i}^j$ , die sich offensichtlich von der in Tung unterscheidet.

Antworten (2)

Die Definition der Transponierung der Lorentz-Transformation (als gemischter Tensor)

Kommentar zur Frage (v4): Es scheint, dass Weinberg nicht die Definition einer transponierten Matrix diskutiert, sondern lediglich Eigenschaften einer Lorentz-Transformation verwendet.
Genau, aber Weinberg definiert das Symbol ${\Lambda_\mu}^\nu$ als Umkehrung einer Matrix, die in Tung verwendet wird, um die Transponierte der (gleichen) Matrix zu definieren.
Nein, Weinberg gibt keine Definition (über das Senken und Erhöhen von Indizes mit der Metrik hinaus). Er verwendet eine Eigenschaft von Lorentz-Matrizen.
Bitte korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege. ${{(\Lambda^{-1})}^\nu}_\mu ~=~g_{\mu\sigma}{\Lambda^\sigma}_\alpha g^{\alpha\nu}$ ist dann eine Eigenschaft ${\Lambda_\mu}^\nu ~=~ {{(\Lambda^{-1})}^\nu}_\mu$ sagt, es ist konsistent mit "erhalten ${\Lambda_\mu}^\nu$ durch Anheben und Absenken von Indizes von ${\Lambda^\sigma}_\alpha$ ". Letzteres kann (sozusagen) als Definition von angesehen werden ${\Lambda_\mu}^\nu$ , besonders Seite an Seite mit den von Tung eingeführten Konventionen (I.3-1).
Nein, Tung definiert $(\Lambda^T)_{\mu}{}^{\nu}$ , die sich grundsätzlich von unterscheidet $\Lambda_{\mu}{}^{\nu}$ .
Du hast Recht. Folgendes habe ich verstanden, zuerst umschreiben (I.3-1) als ${A_i}^j={(A^T)^j}_i$ , verwenden Sie es dann als Definition von (element $(i,j)$ of) eine neue Form der Matrix auf der linken Seite (bevor angenommen wird, dass sie durch Erhöhen und Verringern von Indizes erhalten werden kann) durch das (Element $(i,j)$ einer Matrix ${B^j}_i$ auf der) rechten Seite des Ausdrucks. Die obige "Definition" wird mit der bei Weinberg verglichen. Denn intuitiv (was der Ursprung meines Missverständnisses sein kann) kann man folgendes "definieren". ${(A^T)^j}_i = {A^i}_j$ Und ${(A^T)_j}^i = {A_i}^j$ , die sich offensichtlich von der in Tung unterscheidet.

Oskar Cunningham · Answer 1

Oskar Cunningham

Daher fiel mir auf, dass die Definition im Buch Weinberg nicht mit der im Buch Tung übereinstimmt: in einem von ihnen das Symbol ${\Lambda_\mu}^\nu$ ist als Umkehrung der Lorentz-Transformation von kontravarianten Vektoren definiert, während im anderen Fall dasselbe Symbol als Transponierte der ursprünglichen Matrix definiert ist.

Das Symbol $\Lambda_\mu{}^\nu$ ist nicht als die Transponierte der ursprünglichen Matrix definiert. Die Transponierte der ursprünglichen Matrix ist ${\Lambda^T}_\nu{}^\mu$ (unter der Annahme, dass die ursprüngliche Matrix ist $\Lambda^\mu{}_\nu$ ). Sie müssen die " $^T$ ". Solange Sie verwenden " $^T$ " Um den Unterschied zwischen der Matrix und ihrer Transponierung zu erkennen, sollte alles ohne Inkonsistenzen funktionieren.

Spielbm

Ich habe folgendes verstanden: zuerst umschreiben (I.3-1) als

{A_{i}}^{j} = {(A^{T})^{j}}_{i}

${A_i}^j={(A^T)^j}_i$ , verwenden Sie es dann als Definition von (element

(i, j)

$(i,j)$ of) eine neue Form der Matrix auf der linken Seite (in diesem Moment gehe ich nicht davon aus, dass sie durch Erhöhen und Senken von Indizes erhalten werden kann) durch das (Element

(i, j)

$(i,j)$ der Originalmatrix

{B^{j}}_{i}

${B^j}_i$ auf der) rechten Seite des Ausdrucks. Die obige "Definition" wird mit der bei Weinberg verglichen. Denn intuitiv (was der Ursprung meines Missverständnisses sein kann) kann man folgendes definieren

{(A^{T})^{j}}_{i} = {A^{i}}_{j}

${(A^T)^j}_i = {A^i}_j$ Und

{(A^{T})_{j}}^{i} = {A_{i}}^{j}

${(A^T)_j}^i = {A_i}^j$ , die sich offensichtlich von der in Tung unterscheidet.

Oskar Cunningham

Du kannst nicht haben

{(A^{T})^{j}}_{i} = {A^{i}}_{j}

${(A^T)^j}_i={A^i}_j$ denn Sie können nur obere Indizes gleich obere Indizes setzen und umgekehrt. (Der Grund für diese Regel ist, dass sich die Indizes unterschiedlich transformieren. Wenn Sie sie also in einer Basis gleich setzen, wären sie in einer anderen nicht gleich.)

Spielbm

Für mich gibt es zwei Dinge: Matrix und Tensor. Bei einem Tensor darf man mit einer Metrik nur einen hochgestellten Index absenken. Aber ich habe in Bezug auf die Matrix gedacht (und den Tensor für eine Sekunde vergessen). Für eine Matrix

M_{i, j}

$M_{i,j}$ , seine Transponierte ist

M_{i, j}^{T} = M_{j, i}

$M^T_{i,j}=M_{j,i}$ , Wo

M_{i, j}

$M_{i,j}$ ist der

(i, j)

$(i,j)$ Bestandteil einer Matrix

M

$M$ . Nehmen wir nun die Konvention an, dass die

(i, j)

$(i,j)$ Komponente einer Matrix wird mit bezeichnet

{Λ^{i}}_{j}

${\Lambda^i}_j$ (und tun so, als wüssten wir nichts über Tensor, und tatsächlich hängen die Definition der Matrix und die ihrer Transponierten nicht von der des Tensors ab).

Spielbm

Also was ist das

(i, j)

$(i,j)$ Komponente der Transponierten dieser Matrix? Für mich wird es sein

{Λ^{j}}_{i}

${\Lambda^j}_i$ . Deshalb

{(Λ^{T})^{i}}_{j} = {Λ^{j}}_{i}

${(\Lambda^T)^i}_j={\Lambda^j}_i$

Spielbm

Es tut mir leid, dass ich Ihre Erklärung nicht verstanden habe. (Sie meinten, dass die ursprüngliche Matrix ist

{Λ^{ν}}_{μ}

${\Lambda^\nu}_\mu$ , richtig?) Wenn

{Λ_{μ}}^{ν}

${\Lambda_\mu}^\nu$ ist nicht als die Transponierung von definiert

{Λ^{ν}}_{μ}

${\Lambda^\nu}_\mu$ . Was soll ich verstehen

{Λ_{μ}}^{ν} = {(Λ^{T})^{ν}}_{μ}

${\Lambda_\mu}^\nu = {(\Lambda^T)^\nu}_\mu$ (oder

{(Λ^{T})_{μ}}^{ν} = {Λ^{ν}}_{μ}

${(\Lambda^T)_\mu}^\nu = {\Lambda^\nu}_\mu$ )? Danke!

Prof. Legolasov · Answer 2

Prof. Legolasov

Bezüglich $4\times 4$ Matrizen, Elemente der Darstellung der Gruppe SO(3,1) müssen der folgenden Beziehung gehorchen:

G \cdot A^{T} \cdot G = A^{- 1},

$g\cdot A^{T} \cdot g = A^{-1},$

Wo $g = \text{diag}(1, -1, -1, -1) = g^{-1}$ .

Beantwortet es deine Frage?

Spielbm

Danke für die Antwort. Wie ich verstanden habe, ist die Gleichung, die Sie geschrieben haben, wenn sie in Matrixkomponenten ausgedrückt wird, genau

{(Λ^{- 1})}^{ν}_{μ} = g_{μ σ} {Λ^{σ}}_{α} g^{α ν}

${{(\Lambda^{-1})}^\nu}_\mu ~=~g_{\mu\sigma}{\Lambda^\sigma}_\alpha g^{\alpha\nu}$ . Dann nein. Ich habe die Frage bearbeitet und versucht, ihre Aussage klarer zu machen.

Prof. Legolasov

@gamebm du sprichst von definieren

A^{T}

$A^T$ Und

A^{- 1}

$A^{-1}$ ebenso haben Sie eine gewisse Freiheit bei diesen Definitionen. Die Wahrheit ist, dass sie bereits für alle definiert sind

A

$A$ . Können Sie den Kern Ihrer Frage noch einmal umformulieren?

Spielbm

Meine Frage bezieht sich auf die von Tung im Lehrbuch eingeführte Konvention. Es handelt sich also um eine bestimmte Notation, die in diesem Lehrbuch verwendet wird. Es ist dort (oder zumindest äquivalent) definiert

{A_{i}}^{j} = {(A^{T})^{j}}_{i}

${{A}_i}^j~=~{(A^T)^j}_i$ , was (für mich) eine Konvention ist, um die Komponente der Transponierten einer Matrix in Bezug auf die Komponente einer anderen Matrix umzuschreiben, jedoch sind diese beiden Matrizen (auch) durch die Notationen für (Transformation zwischen) kovariant und miteinander verbunden kontravariante Vektoren, daher scheint mir, dass etwas nicht ganz konsistent ist (aufgrund mangelnder Freiheit).

Prof. Legolasov

Alles ist stimmig. Das muss man sich nur merken

{A_{i}}^{j} \neq {A^{j}}_{i}

${A_i}^j \neq {A^j}_i$ . Die Reihenfolge der Indizes ist wichtig.

Spielbm

Ja, das ist mir bewusst. Die Verwirrung kommt von den zwei Wegen, die

{Λ_{μ}}^{ν}

${\Lambda_\mu}^\nu$ bezieht sich auf die ursprüngliche Matrix

{Λ^{ν}}_{μ}

${\Lambda^\nu}_\mu$ . (1) Laut Tung, was wörtlich sagt

{Λ_{μ}}^{ν} = {(Λ^{T})^{ν}}_{μ}

${\Lambda_\mu}^\nu = {(\Lambda^T)^\nu}_\mu$ , und 2)

{Λ_{μ}}^{ν} \equiv g_{μ σ} {Λ^{σ}}_{α} g^{α ν} = {(Λ^{- 1})}^{ν}_{μ}

${\Lambda_\mu}^\nu \equiv g_{\mu\sigma}{\Lambda^\sigma}_\alpha g^{\alpha\nu} = {{(\Lambda^{-1})}^\nu}_\mu$ wenn man behandelt

{Λ_{μ}}^{ν}

${\Lambda_\mu}^\nu$ als gemischter Tensor. Sind sie konsistent?

Prof. Legolasov

@gamebm Deine Präposition ist falsch:

{Λ_{μ}}^{ν} \neq g_{μ σ} {Λ^{σ}}_{α} g^{α ν}

${\Lambda_{\mu}}^{\nu} \neq g_{\mu \sigma} {\Lambda^{\sigma}}_{\alpha} g^{\alpha \nu}$ . Die Transposition ist nicht dasselbe wie das Erhöhen/Senken von Indizes über eine beliebige Metrik

g

$g$ . Es gilt nur wann

g = 1_{n \times n}

$g=1_{n\times n}$ , dh im euklidischen Raum.

Spielbm

Ich folgte Weinberg (2.3.10), was besagt, dass es konsistent ist, daran zu denken

{Λ^{σ}}_{α}

${\Lambda^\sigma}_\alpha$ als Tensor (neben den Eigenschaften der Lorentztransformation). Für einen Moment hatte ich den Eindruck, dass ich dieser Konvention vielleicht nicht folgen sollte, wenn ich die in Tung eingeführte Konvention verwenden möchte. Ich erkannte jedoch, dass er im Buch Tung auch behandelt

{Λ^{σ}}_{α}

${\Lambda^\sigma}_\alpha$ als Tensor (siehe Anhang I des Buches, irgendwo in der Nähe von (I.2-2) und (I.3-2)).

Prof. Legolasov

Lassen Sie uns diese Diskussion im Chat fortsetzen .

Prof. Legolasov

Tut mir leid wegen der Chat-Einladung, diese Seite besteht weiterhin darauf, "diese Diskussion automatisch in den Chat zu verschieben", aber anscheinend finde ich keine Möglichkeit, dort etwas zu schreiben. Bitte prüfen Sie selbst. Also definierst du

{Λ^{μ}}_{ν}

${\Lambda^{\mu}}_{\nu}$ über Erhöhung/Senkung von Indizes. Als es nicht gleich dem ist

{Λ_{ν}^{T}}^{μ}

${\Lambda^T_{\nu}}^{\mu}$ .

Spielbm

Ja ... das Problem ist, dass Tung meiner Meinung nach auch die Konvention annimmt, Indizes über metrische Tensoren zu erhöhen und zu verringern.

Prof. Legolasov

So

{Λ^{μ}}_{ν}

${\Lambda^{\mu}}_{\nu}$ über heben/senken definiert wird, dann ist es ungleich

Λ^{T}

$\Lambda^T$ . Fall gelöst? :)

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