Kovarianter und kontravarianter 4-Vektor in der speziellen Relativitätstheorie

Die Metrik ist nicht immer im Formular

Wenn Sie Ihre Koordinatensysteme ändern, indem Sie die$x^0$Achse durch$1000$, wird die Metrik sein

und die inverse Metrik wird sein

Und mit diesen Objekten muss gehoben und gesenkt werden.

Im Allgemeinen, wenn Sie eine willkürliche Koordinatenänderung haben$q^\mu=F^\mu(x)$, dann ändern sich die Komponenten der Vektoren von$X^\mu$Zu$\frac{\partial F^\mu(x)}{\partial x^\nu}X^\nu$, wobei eine Summe über zweimal auftretende Indizes impliziert ist.

Die Metrik und die inverse Metrik verwandeln sich auch in:

Und Sie können feststellen, wenn Sie zum Beispiel zu Kugelkoordinaten wechseln, dass die Metrik auf Ihrem Raum nicht mehr konstant ist.

Ich hätte lieber per Kommentar geantwortet, aber das darf ich noch nicht. Die Antwort von s.harp ist operativ korrekt, in dem Sinne, dass Sie die richtigen Transformationseigenschaften von "kovarianten" und "kontravarianten" Vektoren und der Metrik erhalten. Sie sollten sich also an diese halten, wenn Sie Gleichungen manipulieren. Sie sollten sich jedoch darüber im Klaren sein, dass Ihre Verwirrung auf die Tatsache zurückzuführen ist, dass die geometrische Struktur und die mathematischen Werkzeuge der speziellen Relativitätstheorie im Kontext der Differentialgeometrie genauer definiert sind, wie 0celo7 in dem Kommentar zu sagen versuchte. Leider wird Differentialgeometrie nicht in Physik-Grundkursen unterrichtet, und dies führt dazu, dass in Fächern wie der speziellen Relativitätstheorie viel mit Definitionen und Konzepten herumgefuchtelt werden muss, was wiederum nachdenkliche Studenten verwirrt. Mein Rat ist, die ersten paar Kapitel eines Einführungsbuches in die Differentialgeometrie zu lesen, zumindest bis zu dem Punkt, an dem es um differentielle Einsformen geht. Ich versichere Ihnen, dass nicht nur Ihre Zweifel ausgeräumt werden, sondern Ihnen auch eine solide Vorstellung davon vermittelt wird, worum es bei der speziellen Relativitätstheorie geht. Wenn Sie interessiert sind, kontaktieren Sie mich privat (wieder kann ich nicht auf Kommentare antworten).

Obwohl wir die Begriffe „kontravarianter Tensor“ oder „kovarianter Tensor“ verwenden, beziehen wir uns wirklich auf die Komponenten eines Tensors und nicht auf den Tensor selbst. Der Tensor selbst ist unabhängig vom verwendeten Koordinatensystem. Die kontravarianten Komponenten eines Tensors erhält man beispielsweise durch Zerlegung des Tensors in Komponenten in Form der sogenannten Koordinatenbasisvektoren.

Angenommen, wir haben einen Vektor$\vec{v}$und nehmen wir an, wir haben zwei Sätze von Basisvektoren:

$\vec{v}=v^1\hat{e_1}+v^2\hat{e_2}+v^3\hat{e_3}$wobei die hochgestellten Zeichen keine Exponenten sind, sondern die n-te Komponente des Vektors angeben und die tiefgestellten Zeichen die entsprechenden Einheitsvektoren sind.

Auf einer anderen Grundlage hätten wir vielleicht$\vec{v}=u^1\hat{\epsilon_1}+u^2\hat{\epsilon_2}+u^3\hat{\epsilon_3}$

$\vec{v}$ist dasselbe Objekt, egal in welchem ​​Koordinatensystem es sich befindet. Es ist dasselbe geometrische Objekt.

Es gibt einen Prozess, durch den die Komponenten in die aufgenommen werden$v^\alpha$Koordinatensystem und leiten die Komponenten im ab$u^\nu$Koordinatensystem. Diese Operation ist linear in der$v$Koordinaten und hat eine entsprechende inverse Transformation. Die Operation kann als Matrixprodukt mit einem Vektor aus den Koordinaten dargestellt werden.

Für die Basisvektoren gibt es eine eigene, aber verwandte Transformationsvorschrift. Es ist im Wesentlichen eine Matrix durch eine Matrixmultiplikation im Gegensatz zur vorherigen Matrix durch eine Vektormultiplikation. Während die vorherige Transformation Koordinaten auf Koordinaten abbildete, d. h. reelle Zahlen auf reelle Zahlen, bildet diese Transformation Vektoren auf Vektoren ab. Die zu transformierenden Objekte sind unterschiedlich. Jeder Vektor, einschließlich des Einheitsvektors in einem Koordinatensystem, kann als lineare Kombination der Einheitsbasisvektoren des anderen Koordinatensystems dargestellt werden.

Koordinaten sind nicht die Vektoren, die sie darstellen. Sie müssen den zugehörigen Einheitsvektor multiplizieren, um den vollständigen Vektor zu erhalten.

Lassen Sie gepaarte Aufwärts- und Abwärtsindizes eine wiederholte Multiplikation darstellen:

Lassen wir lateinische Schriften Koordinaten in einem System darstellen und griechische Indizes Koordinaten in einem anderen, dann hat der Vektor v die Darstellungen:

Um von einem Koordinatensystem zu einem anderen zu gehen, können wir haben$v^a=\Lambda_\mu^av^\mu$, wobei wiederum wiederholte erhöhte und erniedrigte Indizes eine wiederholte Summierung und implizieren

Wo$x^a$ist der$a_{th}$Koordinate eines Koordinatensystems und der$x^\mu$ist der$\mu_{th}$Koordinate des anderen.

Verfolgen Sie die lateinischen vs. griechischen Indizes.

Die Transformation für Basisvektoren ist$\Lambda^\mu_a$. Die Indizes werden umgedreht, aber dies ist nicht immer die Umkehrung der Transformation. Es ist die "entgegengesetzte Richtung" von der Koordinatentransformationsprozedur.

Wenn sich ein Objekt auf die gleiche Weise wie Basisvektoren transformiert, handelt es sich um einen kovarianten Vektor, der auch als 1-Form bezeichnet wird. Wenn es als Koordinaten und daher in die entgegengesetzte Richtung als Basisvektoren transformiert wird, ist es ein kontravarianter Vektor oder nur ein Vektor.

Eine 1-Form kann man sich geometrisch auch als eine Reihe von infinitesimalen Ebenen vorstellen, die in bestimmten Abständen parallel zueinander angeordnet sind. Ein Vektor einer Länge durchdringt im Allgemeinen mehr Ebenen, wenn er parallel zur Normalen der Ebenen verläuft, als wenn er die Ebenen schräg trifft. Wir können die übliche Vorstellung eines Skalarprodukts damit in Verbindung bringen, wie viele Ebenen von einem gegebenen Vektor durchbohrt werden.

In diesem Formalismus sagen wir nicht, dass man zwei Vektoren nimmt, um ein inneres Produkt zu erhalten. Sie nehmen einen Vektor und eine Einsform, um ein inneres Produkt zu erhalten.

Wenn Sie haben$a^i$Und$b^j$,$a^ib^j$ist nicht ihr inneres Produkt, auch wenn$i=j$in einem allgemeinen Koordinatensystem. Denken Sie daran, dass wir einen erhöhten und einen verringerten übereinstimmenden Index benötigen, um eine Summe durchzuführen. Wir haben nur ein inneres Produkt mit einer bestimmten Metrik,$g_{ij}$(obwohl im Minkowski-Raum derjenige, in dem alle Koordinaten entlang der Diagona 1 sind, Null anderswo die Zeit/Zeit-Cordiante akzeptiert, die -1 ist. ).

Diesmal wird durch die wiederholten Indizes eine doppelte Summe impliziert. Wir haben übereinstimmende erhöhte und erniedrigte Indizes, sodass wir die Summierung durchführen können, um das innere Produkt zu erhalten.

Jetzt$g_{ij}v^i$hat seine eigene besondere Bedeutung. Sie erkennen dies möglicherweise als das Verfahren zum Senken eines Index. Es wird$v_i$, eine Koordinate, die einer Basis-1-Form zuzuordnen ist. Ein einzelner oberer Index ist die Koordinate eines Vektors, ein einzelner unterer Index repräsentiert die Koordinate einer 1-Form.

Siehe ihn für weitere Informationen zu einem Formular

Die Dimension wird bei einer kovarianten/kontravarianten Transformation nicht geändert, denn wenn wir uns Kovektoren als dualen Raum auf Kontravektoren vorstellen (und umgekehrt), würden wir die Multiplikation verwenden$X^\mu X_\mu$um die Norm der beiden Vektoren zu berechnen -$||X_\mu||=\sqrt{X_\mu X^\mu}$, daher$[||X_\mu||]=\left[\sqrt{x_\mu X^\mu}\right]=\sqrt{\left[X_\mu\right]}\sqrt{\left[X^\mu\right]}$und weil wir verlangen$[||X_\mu||]=[X_\mu]$das gibt$[X_\mu]=[X^\mu]$, daher hat der kovariante Distanz-4-Vektor immer noch Längeneinheiten.