Wie kann man zeigen, dass das Raumzeitintervall im Allgemeinen invariant ist?

Question

Wie kann man zeigen, dass das Raumzeitintervall im Allgemeinen invariant ist?

Jack

Ich verstehe, wie man das Raumzeitintervall ableitet, das für den Minkowski-Raum invariant ist, aber ich habe noch nie eine Ableitung davon in der allgemeinen gekrümmten Raumzeit gesehen. Wird die Invarianz nur für den Minkowski-Raum abgeleitet und dann postuliert, dass sie für alle metrischen Tensoren in der Allgemeinen Relativitätstheorie gilt, oder gibt es einen Beweis dafür, dass sie in der Allgemeinen Relativitätstheorie invariant ist?

Knzhou

Es scheint eine Verwechslung zwischen den beiden Antworten unten zu geben. Die erste zeigt, dass die Nummer

d s^{2}

$ds^2$ ist immer unveränderlich. Die zweite zeigt, dass die Form von

d s^{2}

$ds^2$ , dh

d t^{2} - d x^{2} - d y^{2} - d z^{2}

$dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$ ist invariant, was gleichbedeutend mit der Aussage ist, dass die metrischen Tensorkomponenten

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ sind unter Lorentz-Transformationen invariant.

Knzhou

Dann lauten die jeweiligen Antworten ja, immer; und nein, nur in SR.

Antworten (3)

Wie kann man zeigen, dass das Raumzeitintervall im Allgemeinen invariant ist?

Es scheint eine Verwechslung zwischen den beiden Antworten unten zu geben. Die erste zeigt, dass die Nummer $ds^2$ ist immer unveränderlich. Die zweite zeigt, dass die Form von $ds^2$ , dh $dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$ ist invariant, was gleichbedeutend mit der Aussage ist, dass die metrischen Tensorkomponenten $g_{\mu\nu}$ sind unter Lorentz-Transformationen invariant.
Dann lauten die jeweiligen Antworten ja, immer; und nein, nur in SR.

N0va · Answer 1

Betrachten wir eine beliebige invertierbare Koordinatentransformation:

X^{μ} \to X^{' μ} = X^{' μ} (X^{v}) .

$x^\mu \rightarrow x'^{\mu}=x'^{\mu}(x^\nu).$ Der entsprechende Jacobi

Λ

$\Lambda$

Λ_{ρ}^{μ} = \frac{\partial X^{' μ}}{\partial X^{ρ}}

$\Lambda^\mu_{~~\rho}=\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\rho}}$ ist invertierbar

Λ_{σ}^{v} = \frac{\partial X^{v}}{\partial X^{' σ}} .

$\Lambda_{\sigma}^{~~\nu}=\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\sigma}}.$ Ein Vektor verwandelt sich wie

X^{' μ} = \frac{\partial X^{' μ}}{\partial X^{σ}} X^{σ} = Λ_{σ}^{μ} X^{σ} .

$x'^\mu=\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\sigma}}x^\sigma=\Lambda^\mu_{~~\sigma}x^\sigma.$ Die definierende Eigenschaft eines Tensors zweiten Ranges (der metrische Tensor ist ein solcher Tensor) ist, dass er wie transformiert

G_{ρ σ}^{'} = \frac{\partial X^{μ}}{\partial X^{' ρ}} \frac{\partial X^{v}}{\partial X^{' σ}} G_{μ v} = Λ_{ρ}^{μ} Λ_{σ}^{v} G_{μ v} .

$g'_{\rho\sigma}=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\rho}}\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\sigma}}g_{\mu\nu}=\Lambda_{\rho}^{~~\mu}\Lambda_{\sigma}^{~~\nu}g_{\mu\nu}.$

Lassen Sie uns vor diesem Hintergrund diesen Tensorkalkül an unserem Linienelement ausprobieren:

\begin{aligned} D S^{' 2} & = G_{μ v}^{'} D X^{' μ} D X^{' v} \\ = G_{μ v}^{'} Λ_{ρ}^{μ} Λ_{σ}^{v} D X^{ρ} D X^{σ} \\ = G_{μ v} D X^{ρ} D X^{σ} \\ = D S^{2} . \end{aligned}

$\begin{align} ds'^2 & = g'_{\mu\nu}dx'^\mu dx'^\nu \\\\ & =g'_{\mu\nu}\Lambda^\mu_{~~\rho}\Lambda^\nu_{~~\sigma}dx^\rho dx^\sigma\\\\ & = g_{\mu\nu}dx^\rho dx^\sigma \\\\ & = ds^2.\end{align}$ Das wäre die Lehrbuchrechnung für die Invarianz des Linienelements mittels Tensorrechnung. Um die Transformationseigenschaft eines Tensors zweiter Ordnung zu beweisen, würde man alles über Basisvektoren ausdrücken und die Beziehungen dieser Basisvektoren verwenden.

Die Invarianz des Linienelements ist also eher ein Merkmal der Tensorrechnung. Ein Skalar ist unter Koordinatentransformationen invariant, was nichts mit der speziellen oder allgemeinen Relativitätstheorie zu tun hat.

John Rennie · Answer 2

John Rennie

Sie können die Invarianz des Linienelements nicht ableiten, da dies eine der Annahmen ist, auf denen die Relativitätstheorie (beide Varianten) basiert. Wenn du sagst:

Ich verstehe, wie man das Raumzeitintervall ableitet, das für den Minkowski-Raum invariant ist

Ich würde vermuten, Sie meinen, dass Sie zeigen können, dass die Lorentz-Transformationen das Linienelement beibehalten. Die meisten von uns würden jedoch die Ansicht vertreten, dass die Invarianz des Linienelements grundlegender sei, und dann die Lorentz-Transformationen aus der Anforderung ableiten, dass das Linienelement erhalten bleiben muss.

Es gibt kein einfaches Äquivalent zu den Lorentz-Transformationen in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Die Lorentz-Transformationen sind eine Koordinatentransformation, aber eine sehr einfache, bei der die Transformation zwischen Trägheitsrahmen in der flachen Raumzeit erfolgt. Während wir in GR ausgiebig Koordinatentransformationen verwenden, sind sie normalerweise weitaus komplizierter als die Lorentz-Transformationen.

Allerdings gilt in GR, ebenso wie in SR, die Invarianz des Linienelements:

D S^{2} = G_{a β} D X^{a} D X^{β}

$ds^2 = g_{\alpha\beta} dx^\alpha dx^\beta$

gilt immer obwohl die Metrik $g_{\alpha\beta}$ ist generell komplizierter.

Jim

+1, weil es die Frage gut beantwortet und weil Sie den Repräsentanten wirklich brauchen

Jack

Danke für die Antwort, aber ich muss widersprechen, dass Sie das Raumzeitintervall in der speziellen Relativitätstheorie nicht ableiten können. Aus den Postulaten der Homogenität der Raumzeit, der Isotropie des Raums und der Invarianz der Lichtgeschwindigkeit ist es trivial, die Invarianz des Raumzeitintervalls in der speziellen Relativitätstheorie abzuleiten, wie es auf Seite 4 von Landaus klassischer Feldtheorie getan wird. Es besteht keine Notwendigkeit, Lorentz-Transformationen einzuführen, um zu zeigen, dass sie invariant ist.

John Rennie

@Jack: Ich würde es wieder andersherum sehen. Ausgehend von der Invarianz des Linienelements ist es trivial zu zeigen, dass die Lichtgeschwindigkeit für alle Beobachter eine Konstante ist. Es kommt nur darauf an, welche Größen Sie als grundlegend ansehen und welche Größen abgeleitet werden. Meiner Ansicht nach ist die Invarianz des Linienelements das grundlegendste Prinzip der Relativitätstheorie (beide Varianten).

Jack

Sie haben natürlich völlig Recht, obwohl es viel üblicher ist, die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit als grundlegendes Postulat der speziellen Relativitätstheorie zu betrachten als das Linienelement (und historisch gesehen wurde die spezielle Relativitätstheorie auf diese Weise zuerst erreicht).

John Rennie

@Jack: Ich kenne einige Leute, die in der Relativitätstheorie arbeiten, und sie alle halten die Invarianz des Linienelements für grundlegender. Lehrbücher für Studenten tun dies nicht, was meiner Meinung nach albern ist, weil es SR leichter verständlich macht. Ich sage zuversichtlich voraus, dass Sie mir am Ende zustimmen werden, wenn Sie in Relativitätstheorie promovieren :-)

Garyp

Was grundlegender ist ... es hängt davon ab, ob Sie ein Theoretiker oder ein Experimentator sind. :)

Jack

Als Doktorand in Teilchenphysik habe ich eine ganze Reihe von QFT-Abschlussbüchern, die sich ziemlich stark mit Relativitätstheorie befassen, von denen ich mich erinnere, dass alle die Invariante der Lichtgeschwindigkeit als grundlegendes Postulat betrachten. Sie mögen Recht haben, dass Doktoranden in reiner Relativitätstheorie das Linienelement als grundlegender betrachten könnten, aber es ist sicherlich nicht nur eine Sache von Studenten, anders zu denken. Und historisch gesehen wurde das Linienelement von Einstein dadurch erreicht, dass er die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit als grundlegendes Postulat betrachtete, nicht umgekehrt.

John Rennie

@Jack: Das ist QFT für dich :-) Ernster gesagt, die Koordinatengeschwindigkeit des Lichts ist in GR nicht konstant, also wo verlässt dich das, wenn du die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit als Ausgangspunkt nimmst? Das spielt in QFT keine Rolle, da Sie es normalerweise nur mit flacher Raumzeit zu tun haben. Aber ich sage nicht, dass Sie falsch liegen – es hängt nur von der Wahl ab, wo Sie anfangen.

Jack

Nun, in ähnlicher Weise, da Sie in der speziellen Relativitätstheorie einige der häufiger verwendeten Postulate ableiten können, anstatt die Invarianz des Linienelements als grundlegendes Postulat zu betrachten, können Sie zeigen, dass Dinge wie das Äquivalenzprinzip nur unter der Annahme einer Invarianz von wahr sind das allgemeine relativistische Linienelement?

John Rennie

@Jack: Das Äquivalenzprinzip ist der Grund, warum Sie die Schwerkraft überhaupt als metrische Theorie beschreiben können. Ich nehme an, wenn Sie die Metrik als Ausgangspunkt nehmen, impliziert dies das Äquivalenzprinzip, aber ich würde nicht sagen, dass dies eine Ableitung ist. Ich schätze, die meisten von uns würden das Äquivalenzprinzip als äquivalent zu der Aussage ansehen, dass Gravitation eine metrische Theorie ist. Wenn Sie dies diskutieren möchten, sollten wir wirklich im Chatroom fortfahren, anstatt die Hauptseite zu überladen.

SRS

In Landaus klassischer Feldtheorie beweist/beweist er auf den ersten Seiten die Gleichheit

d s^{2} = d s^{^{'} 2}

$ds^2=ds^{'2}$ für jeden Wert von

d s^{2}

$ds^2$ unter Ausnutzung des Postulats, dass die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum in allen Inertialsystemen gleich ist. @John Rennie

John Rennie

@SRS ist eine Frage der Perspektive. Wenn Sie davon ausgehen, dass

d s^{2}

$ds^2$ eine Invariante ist, folgt automatisch die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Was also impliziert, was Sie für grundlegender halten.

SRS

Landau nimmt die "Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum" als eines der physikalischen Postulate und leitet daraus die Invarianz von ab

d s^{2}

$ds^2$ , Im Algemeinen. Dabei spricht er überhaupt nicht von Lorentz-Transformationen. Ich habe mich gefragt, ob es ein solches physikalisches Postulat gibt, das die Invarianz von erzwingt

d s^{2}

$ds^2$ im GR. Das veranlasste mich, diese Frage zu stellen physical.stackexchange.com/questions/602384/… @JohnRennie

Moonraker · Answer 3

Das Raumzeitintervall ist ein Konzept der Minkovski-Raumzeit. Es erscheint auch in der allgemeinen Relativitätstheorie in seiner infinitesimalen Form $ds$ , da die Prinzipien der speziellen Relativitätstheorie lokal innerhalb der gekrümmten Raumzeit der allgemeinen Relativitätstheorie gelten. In der Allgemeinen Relativitätstheorie werden die Abstände zwischen zwei Punkten in der gekrümmten Raumzeit durch Geodäten oder durch ein Wegintegral darüber beschrieben $ds$ .

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