Wozu dient der metrische Tensor?

Die Metrik misst Längen in verschiedene Richtungen und auch Winkel zwischen verschiedenen Richtungen. Zum Beispiel wenn$\vec{e}_{(1)}$ist der Basisvektor in der$x^1$-Richtung, hat die Länge (Quadrat) gegeben durch

$$\lVert \vec{e}_{(1)} \rVert^2 = g(\vec{e}_{(1)}, \vec{e}_{(1)}) = g_{11}.$$ Wenn wir auch den Basisvektor haben $\vec{e}_{(2)}$im $x^2$-Richtung, dann der Winkel $\theta$zwischen diesen Vektoren gehorcht $$\lVert \vec{e}_{(1)} \rVert \cdot \lVert \vec{e}_{(2)} \rVert \cos\theta = \vec{e}_{(1)} \cdot \vec{e}_{(2)} = g(\vec{e}_{(1)}, \vec{e}_{(2)}) = g_{12}.$$

Bisher haben wir die Transformation von Koordinaten noch nicht erwähnt. Nun möchten wir gerne Koordinatentransformationen durchführen können, und die Regel für die Metrik (oder tatsächlich jeden Rang-(0,2)-Tensor) lautet

$$g_{ij} = \sum_{\hat{\imath},\hat{\jmath}} \frac{\partial x^\hat{\imath}}{\partial x^i} \frac{\partial x^\hat{\jmath}}{\partial x^j} g_{\hat{\imath}\hat{\jmath}}. \qquad \text{(all coordinate transformations)}$$ Wenn das Hutkoordinatensystem ein normaler euklidischer Raum mit normalen kartesischen Koordinaten ist, $g_{\hat{\imath}\hat{\jmath}} = \delta_{\hat{\imath}\hat{\jmath}}$und wir bleiben übrig $$g_{ij} = \sum_{\hat{\imath}} \frac{\partial x^\hat{\imath}}{\partial x^i} \frac{\partial x^\hat{\imath}}{\partial x^j}. \qquad \text{(Cartesian hatted coordinates only)}$$ Dies ist jedoch nur eine Regel für die Transformation der Metrik von einem Koordinatensystem in ein anderes. Die tatsächliche Verwendung der Metrik besteht darin, Längen und Winkel in einem bestimmten Koordinatensystem (wie oben) zu berechnen oder die lokale Geometrie von Raum (Zeit) auf prägnante, abstrakte Weise zu beschreiben (in diesem Fall finden Sie sie nicht einmal Komponenten in einem bestimmten Koordinatensystem).

Die Metrik ist ein wichtiges Konzept in der Allgemeinen Relativitätstheorie.

In GR entsprechen Vektoren gewichteten Richtungen in der Raumzeit (mit "gewichtet" meine ich, dass jedes skalare Vielfache eines Vektors derselben Richtung entspricht, aber unterschiedlich gewichtet ist). Der metrische Tensor kann uns dann etwas über den Winkel zwischen zwei Richtungen oder die Größe eines gegebenen Vektors sagen, was uns eine Vorstellung von der Länge in der Raumzeit gibt.

Die Metrik taucht auch in Einsteins Gleichungen auf, die die Verteilung von Energie und Impuls durch die Raumzeit mit der Krümmung in Beziehung setzen – was die Metrik und ihre Ableitungen einschließt. Das heißt, die Krümmung – und damit die Metrik – der Raumzeit werden durch die Verteilung von Energie und Impuls bestimmt .

Die Metrik ist ein Tensor zweiten Ranges, der mehrere Merkmale einer Differenzialmannigfaltigkeit definiert. Es definiert, wie Abstandsänderungen mit Koordinatenänderungen in Beziehung gesetzt werden, wie das innere Produkt zweier Vektoren genommen wird. Bei einem inneren Produkt haben wir eine Möglichkeit, Winkel zu messen.

Indirekter beschreibt die Metrik Geodäten in einer Mannigfaltigkeit, der kürzesten Entfernung zwischen zwei Punkten. So wie die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten auf der Oberfläche einer Kugel keine gerade Linie ist, so ist dies auch in einem allgemeinen nicht ebenen Raum der Fall. Apropos, die Metrik enthält Informationen über die Krümmung einer Mannigfaltigkeit sowie darüber, wie sich Koordinatenbasisvektoren innerhalb der Mannigfaltigkeit ändern.

Aufgrund ihrer Beziehung zum Skalarprodukt bietet die Metrik ein Mittel, um die Gesetze von Gauß und Stoke auf höhere Dimensionen zu verallgemeinern.

Dies ist eine ausgezeichnete Einführung in diese Themen: Ein erster Kurs in der Allgemeinen Relativitätstheorie von Schultz