Ist ein metrisches Tensorfeld dasselbe wie ds²=−dt²+dx²+dy²+dz²ds²=−dt²+dx²+dy²+dz²ds² = -dt² + dx²+ dy² + dz²?

Das sollte eigentlich geschrieben werden$g = -dt \otimes dt+dx \otimes dx + dy \otimes dy + dz \otimes dz$. Hier$g$ist eine bilineare Form, auch bekannt als (0,2)-Tensor. Es frisst zwei Vektoren und spuckt eine reelle Zahl auf eine Weise aus, die in jedem Slot separat linear ist.

Wenn ich ein Paar Vektoren habe$v_1 = (t_1,x_1,y_1,z_1)$Und$v_2 = (t_2,x_2,y_2,z_2)$, dann Anwendung dieses Tensors auf das Vektorpaar ergibt

$g(v_1,v_2) = -t_1t_2+x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$

Dies sieht dem üblichen inneren Produkt zwischen zwei Vektoren sehr ähnlich, außer dass es nicht positiv definit ist, da das innere Produkt eines "Zeitvektors" mit sich selbst negativ ist (also ist die Zeit irgendwie "imaginär", wenn Sie darüber nachdenken möchten dieser Weg).

Dies ist nicht ganz eine Riemannsche Metrik, da sie nicht positiv definit ist, aber es ist eine sogenannte pseudo-riemannsche Metrik.

Sie sind zu Recht verwirrt und nein, Sie werden nicht verrückt, also müssen Sie noch nicht zum Haloperidol greifen: Dies ist einfach ein schlampiger, aber letztendlich (in der Physik) gut verstandener Sprachgebrauch. Wie in den anderen Antworten bezieht sich der Name "metrisch" einfach auf seine algebraische (im Sinne von "Form" von Gleichungen) Ähnlichkeit mit einem inneren Produkt. Wie in den anderen Antworten handelt es sich jedoch um eine entartete bilineare Form.

Eine Sache, die meiner Meinung nach in den anderen Antworten nicht erwähnt wurde und die ich für wichtig halte, ist die (Pseudo-) "Entfernungs" -Funktion$d:\mathcal{M}\to\mathbb{R};\;\; d(X,\,Y)= \sqrt{|g(X-Y,\,X-Y)|}$ist nicht subadditiv , erfüllt also NICHT die Dreiecksungleichung. Somit fehlen der induzierten Pseudonorm zwei der grundlegenden Eigenschaften des metrischen Raums (im topologischen Sinne), dh es gibt Nullvektoren ungleich Null und wir haben keine Subadditivität. Dieses „Versagen“ ist es, was die Zeitdilatation ausmacht und das „Paradoxon“ der Zwillinge so interessant macht (der Zickzackpfad des raumfahrenden Zwillings hat eine kürzere „Länge“ als der vertikale Pfad des heimatlichen Zwillings).

Vielleicht möchten Sie privat anrufen$g$eine "Pseudo-Metrik" oder Minkowski-Metrik - das tue ich. Der Name "Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit" wird auch sehr häufig für eine Mannigfaltigkeit verwendet, die mit einer entarteten billinearen Form ausgestattet ist, aber in jeder anderen Hinsicht wie eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, da viele der Sätze der Riemannschen Geometrie auch für pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten gelten. Insbesondere der "fundamentale" Satz der Riemannschen Geometrie (siehe Wiki-Seite mit diesem Namen) , dass es eine eindeutige (Levi Civita) Verbindung (kovariante Ableitung) gibt, die die Torsion absorbiert (auf Null setzt), ist wahr.

Dies ist nur das innere Produkt des Tensorfeldes auf zwei Vektoren. Gegeben

$$\eta_{00} = -1 \\ \eta_{ij} = \delta_i^j$$ mit allen anderen Komponenten Null, das innere Produkt $$ds^2 = ds_\mu ds^\mu = \eta_{\mu \nu} ds^\mu ds^\nu$$ ist für $ds^\mu = (dt, dx, dy, dz)$, $$ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2.$$

(Ich glaube, ich habe meine Vektoren/Eins-Formen richtig verstanden, aber bitte korrigieren Sie mich, wenn ich es nicht getan habe.)