Normales Vektorfeld der konstanten Zeit Kerr-Scheibe

Sie müssen mit dem gesamten 3 + 1-Formalismus vorsichtig sein, wenn Sie nicht triviale Fehler und Verschiebungen haben. (was hier stimmt).

In dieser Sprache ist Ihre 3-Metrik gegeben durch:

$$\gamma_{ab} = n_{a}n_{b} + g_{ab}$$

Wo$n_{a}$ist Ihre Einheit normal zu der durch Auswahl gefundenen Hyperfläche$t =$konst. Da Ihre Zeitvariable und eine Ihrer Winkelvariablen jedoch nicht orthogonal sind, beinhaltet die Zeitentwicklung eine "räumliche Entwicklung in den Koordinaten", und Ihr Zeitentwicklungsvektor ist gleich$t^{a} = -\alpha n^{a} + \beta^{a}$, Wo$\alpha$Und$\beta^{a}$sind die Ablauffunktion und der Verschiebungsvektor. Seit$t$muss mit dem Zustand vereinbar sein$t^{a}\nabla_{a}t = 1$, das muss das bedeuten$\alpha = \frac{1}{\sqrt{-t^{a}t_{a}}}$

Nun, da wir die Zeitentwicklung mit dem verknüpft haben$t^{a}$Vektor können wir zerlegen

$$ds^{2} = g_{ab}dx^{a}dx^{b}$$

hinein

$$ds^{s} = g_{ab}\left(t^{a}dt + \gamma^{a}_{c}dx^{c}\right)\left(t^{b}dt + \gamma^{b}_{d}dx^{d}\right)$$

Was dann wird:

$$ds^{2} = -\left(\alpha^{2} - \beta^{i}\beta_{j}\right)dt^{2} + 2dt\,dx^{i}\beta_{i} + \gamma_{ij}dx^{i}dx^{2}$$

Daraus können Sie einfach die Werte der Lapse- und Shift-Vektoren ablesen, die mit Ihrer Startmetrik und der Wahl der zeitähnlichen Folierung kompatibel sind.

Sobald Sie die Zeitraffer- und Verschiebungsvektoren haben, müssen Sie nur noch Ihre Gleichung umkehren$t^{a}$um den Normalenvektor zu berechnen.

Meine Frage ist: Was ist das normale Vektorfeld in der Raumzeit zu dieser Hyperfläche? Ist es so einfach wie das Vektorfeld ∂t zu normalisieren?

$\partial_t$ist nicht orthogonal zu$\partial_\phi$. Sie benötigen ein neues Vektorfeld$V=\partial_t+f\partial_\phi$, so dass$g(V,\partial_\phi)$ist null ($g(V,\partial_\theta)$Und$g(V,\partial_r)$sind trivialerweise Null), dh

$$0=g_{t\phi}+fg_{\phi\phi}\Rightarrow f=\frac{-g_{t\phi}}{g_{\phi\phi}}$$