Wie ist die Raumzeit im Zentrum einer großen Masse lokal Lorentzsch?

Gehen Sie den hier aufgeworfenen Fragen nach und versuchen Sie, etwas mehr Klarheit darüber zu bekommen, was es bedeutet, „lokal“ und „flach“ zu sein. Im ersten Kapitel von Gravitation erklären der/die Autor(en):

Die Geometrie der Raumzeit ist überall lokal Lorentzsch

Ich kann mir das vorstellen. Wenn ich 8 Lichtminuten von einem großen Stern entfernt bin, kann ich offensichtlich die Krümmung auf der Bahn eines Planeten um diesen Stern herum sehen, aber wenn ich immer kleinere Messungen von kürzerer Dauer vornehme, messe ich in jeder Hinsicht ein Punkt auf einer Geodäte um diesen Stern, dann wird jedes Experiment, das ich mit Testteilchen durchführe, die Vorhersagen einer Lorentzschen Geometrie erfüllen.

Aber ich folge dieser Logik nicht, wenn ich das Experiment im Zentrum dieser Masse durchführe. Wenn ich mein Experiment im Zentrum dieses Sterns durchführe, dann werde ich, egal wie klein ich mein Labor mache, es sogar klein genug machen, um als Punkt betrachtet zu werden, immer noch überall um mich herum eine Krümmung sehen.

Wie ist die Geometrie der Raumzeit lokal flach im exakten Zentrum einer überaus großen Masse?

Bearbeiten: Beim Versuch, diese Aussage von Gravitation zu verstehen , versuche ich zu verstehen, wie eine lokale Geometrie möglicherweise nicht flach ist. Ein Bild der Geodäten um eine Singularität kam mir in den Sinn als ein Ort auf der Mannigfaltigkeit, der nicht differenzierbar war. Dies ist der Kontext für die Frage.

Der Ausdruck „Krümmungsmittelpunkt“ hat in GR keine Bedeutung. Im Allgemeinen ist die Raumzeit an jedem Punkt lokal flach und weist an jedem Punkt eine Krümmung auf. Das ist kein Widerspruch, denn wie bereits mehrfach auf Ihre früheren Fragen hin erläutert wurde, ist „ lokal flach“ etwas ganz anderes als „flach“.
Ich hoffe, Sie können einen Schritt zurücktreten und verstehen, wie widersprüchlich diese Aussage jemandem erscheint, der versucht, dieses Thema zu verstehen.
Die Raumzeit als Mannigfaltigkeit ist im Zentrum einer großen Masse lokal flach, weil es auch einen Tangentialraum mit einer Lorentzschen Metrik gibt.
Es sollte intuitiv offensichtlich sein, dass die Erdoberfläche „lokal flach“, aber nicht „flach“ ist. Die Raumzeit funktioniert auf die gleiche Weise, aber in vier statt zwei Dimensionen.
Es kommt mir etwas seltsam vor, dass der Ort, an dem Sie die örtliche Ebenheit der Raumzeit am meisten stört – das Zentrum eines massiven Körpers – der Ort ist, an dem in der Newtonschen Physik seine Gravitationskraft null ist .
@G.Smith - " Das Zentrum eines massiven Körpers ist der Ort, an dem in der Newtonschen Physik seine Gravitationskraft Null ist ". Das ist ein guter Punkt. Die Beschleunigung ist an der Oberfläche des Sterns am größten und geht im Zentrum auf Null zurück. An diesem Punkt ist es differenzierbar. Ich dachte an ein Schwarzes Loch, dessen Zentrum eine Singularität ist, die nicht differenzierbar ist.
Beachten Sie, dass die Kraft in der Mitte Null ist, die Krümmung jedoch nicht. Die rechte Seite der Einstein-Feldgleichungen (der Energie-Impuls-Tensor) ist dort ungleich Null, also ist die linke Seite (der Einstein-Krümmungstensor) ungleich Null.
@G.Smith - Gilt die gleiche Logik für eine Singularität?
Ich denke, dass verschiedene Krümmungsinvarianten unendlich werden, wenn Sie sich einer Singularität nähern (was bedeutet, dass zumindest einige Komponenten der Krümmung unendlich werden). Ich weiß nicht, wie ich an den Energie-Impuls-Tensor bei der Singularität denken soll. Ich stelle mir vor, dass es keinen mathematischen Sinn ergibt, aber ich lasse jemand anderen daran teilhaben.
@G.Smith - Danke. Es ist hilfreich für mich (möglicherweise andere), zu verstehen, was "lokal flach" bedeutet, indem ich verstehe, warum etwas möglicherweise nicht "lokal flach" ist. Fortsetzung dieser Diskussion unten.
Von physical.stackexchange.com/a/144458/123208 „ Eine Singularität in GR ist wie ein Stück, das aus der Mannigfaltigkeit herausgeschnitten wurde. Es ist überhaupt kein Punkt oder Punktsatz. Aus diesem Grund haben formale Behandlungen von Singularitäten viele nicht triviale Dinge zu tun, um Dinge zu definieren, die für eine Punktmenge trivial zu definieren wären.Zum Beispiel ist die formale Definition einer zeitartigen Singularität kompliziert, weil sie in Form von Lichtkegeln benachbarter Punkte geschrieben werden muss. " (Hervorhebung von mir)

Antworten (1)

Der Satz „egal wie klein ich mein Labor mache, selbst wenn ich es klein genug mache, um als Punkt betrachtet zu werden, werde ich immer noch überall um mich herum Krümmungen sehen“ ist immer wahr, egal wie weit Sie von irgendeinem Stern entfernt sind .

Die Raumzeit ist lokal Lorentzsch, ähnlich wie eine Parabel lokal durch eine Linie angenähert werden kann. In keinem endlichen Bereich werden Sie feststellen, dass die Parabel kongruent zur Linie ist (es sei denn, es handelt sich natürlich um eine entartete Parabel). Aber Sie finden garantiert eine Gerade, die in einem Punkt und mit der gleichen Steigung auf die Parabel trifft.

Ebenso finden Sie garantiert eine Lorentzsche Metrik und einen Zusammenhang, die in einem Punkt mit der Gravitationsmannigfaltigkeit zusammenfallen.

Lassen Sie mich diesen Raum nutzen, um den Gedankengang im ursprünglichen Beitrag hier fortzusetzen. Wenn die Masse so groß wäre, dass sie eine Singularität verursacht, hätten Sie dann einen Punkt auf dieser Mannigfaltigkeit, der nicht differenzierbar wäre? Wäre die Geometrie an diesem Punkt lokal Lorentzsch?
In einer wesentlichen Singularität sind die Metrik und die Verbindung per Definition singulär und haben daher keinen Wert, der überhaupt als lokal Lorentzianisch angesehen werden könnte. Aber in einem konventionellen Stern gibt es keine wesentliche Singularität. Wahrscheinlich eine Koordinaten-Singularität, aber dann kann man immer passende Koordinaten wählen, um sie verschwinden zu lassen.
Danke schön. Zwischen Ihnen und G. Smith habe ich herausgefunden, dass 1.) ich eine Koordinaten-Singularität mit einer physikalischen Singularität verwechselt habe. Dies kann behoben werden, indem ein anderer Koordinatensatz gewählt wird. 2.) Die Geodäten um eine normale Masse herum sind differenzierbar, sie nähern sich nicht einer physikalischen Singularität im Zentrum der Masse. 3.) Die lokale Geometrie der Raumzeit ist bei einer Singularität nicht lorentzsch. Habe ich das richtig verstanden?
@GluonSoup: zu 3): Nimm die einfache Hyperpola F ( X ) = 1 / X als grundlegende Metapher: Sie können es nicht durch eine Linie bei annähern X 0 = 0 weil das erfordern würde F ( X 0 ) Und F ' ( X 0 ) definiert werden. Im Gegensatz, F ( X ) = X 2 / X ist auch singulär bei X 0 = 0 , aber diese Singularität ist entfernbar (ähnlich einer Koordinaten-Singularität) und Sie können sie dann durch approximieren X bei X 0 = 0 auch wenn es dort nicht definiert ist. Lokalität ein l Ö C A l l j L Ö R e N T z ich A N wird durch die Metrik und ihre Ableitungen/Verbindung definiert. Wenn sie im Point of Interest nicht definiert sind, haben Sie Probleme mit der Anwendung dieser Definition.
zu 2) Wenn Sie mit "normaler Masse" eine ausgedehnte Masse und keine Punktmasse meinen, dann sind die Metrik, die Verbindung und die Geodäten differenzierbar, und daher ist es sinnvoll (und wahr), davon zu sprechen, dass sie lokal lorentzsch sind.
Wie ist die Raumzeit im Zentrum einer großen Masse lokal Lorentzsch?
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