Wie unterscheidet man eine generische Raumzeit vom flachen Raum?
Diese (anscheinend dumme) Frage verwirrte mich, nachdem ich etwas über Vanishing Scalar Invariant (VSI) Raumzeit (zum Beispiel PP-Wellen, Räume mit allen verschwindenden Invarianten der polynomischen Krümmung) und Kundt-Räume gelesen hatte. Siehe zum Beispiel Wikipedia .
Warum müssen wir uns nicht-polynomiale Invarianten oder den Cartan-Karlhede-Algorithmus ansehen, um zwischen VSI und flachem Raum zu unterscheiden, wenn wir naiverweise einfach auf den Riemann-Tensor schauen und sehen könnten, dass er nicht identisch Null ist?
Übersehe ich hier etwas Triviales?
Sie haben Recht, dass, wenn Sie für alle Komponenten des Riemann-Tensors identisch Null erhalten, alle Invarianten, polynomial oder nicht, ebenfalls Null sind. Sie können flache Raumzeiten auf verschiedene Arten unterscheiden, das sind zwei. Eine andere ist eindeutig, wenn Sie eine Koordinatentransformation in eine Minkowski-Raumzeit finden können. Sie können jede davon verwenden.
Was bei VSI-Raumzeiten und Kundt-Raumzeiten noch wichtiger ist, ist, dass sie einige interessante und nützliche physikalische Eigenschaften haben. Sie können klassifiziert werden und dienten als Laboratorium zur Untersuchung verschiedener Vakuum- und sogar Nicht-Vakuumlösungen besonderer Art. Dazu gehören gravitations- und auch elektromagnetische) wellengenaue Lösungen.
Ein Artikel aus dem Jahr 2002 unter https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0209024v1.pdf findet alle Raumzeiten mit verschwindenden Krümmungsinvarianten, dh alle verschwindenden Polynominvarianten oder Skalare. Sie diskutieren verschiedene Gründe, warum sie wichtig sind. Alle oder die meisten davon sind Raumzeiten mit speziellen geometrisch-algebraischen Eigenschaften und haben eine gewisse physikalische Bedeutung.
Die algebraisch speziellen Raumzeiten beziehen sich auf Petrov-Raumzeiten vom Typ III, N oder O, die auf diese Weise klassifiziert werden, basierend darauf, wie viele Null-Eigenvektoren der Weyl-Tensor hat. Für die Petrov-Klassifikationen siehe https://en.m.wikipedia.org/wiki/Petrov_classification und für den Weyl-Tensor siehe https://en.m.wikipedia.org/wiki/Weyl_tensor .
Der Weyl-Tensor ist der einzige Teil des Riemann-Tensors, der in Vakuumraumzeiten ungleich Null ist. Es vermittelt Informationen darüber, wie die Raumzeit verzerrt ist. Der Ricci-Tensor, die Spur des Riemann-Tensors, wird durch die Einstein-Feldgleichungen bestimmt, die ihn mit dem Spannungs-Energie-Tensor in Beziehung setzen, gibt Auskunft über die Volumenänderungen der Raumzeit und ist im Vakuum null. Ein nicht flaches Vakuum hat einen Weyl-Tensor ungleich Null. Für die oben genannten Petrov-Typen gibt es VSI-Lösungen. Das oben zitierte Papier von 2002 identifiziert alle VSI-Lösungen (findet Ausdrücke für alle Metriken und die Funktionen mit zu lösenden Gleichungen, die die verschiedenen Lösungen bezeichnen).
Die bekannteste derartige Lösung ist die pp-Wellen-Lösung, parallele ebene Wellen, die die Raumzeit füllen. Sie sind für sich genommen physikalisch interessant, wie es ebene Wellen in der Quantenfeldtheorie sind, und haben die interessante Eigenschaft, dass zwei solcher Lösungen addiert werden können, wenn sie die Bewegungsrichtung teilen, also zeigen sie eine Art Linearität. Diese und einige der anderen speziellen VSI-Lösungen haben einzigartige Eigenschaften, die für die Quantengravitation von Wert sind. Pp-Wellen sind beispielsweise auch Lösungen der Stringtheorie und verallgemeinerte Versionen der Superstringtheorie und gelten für alle Störungsordnungen in der Saitenspannung. Andere Lösungen haben verschwindende Korrekturen bis zu zwei Schleifen, und dann verschwinden alle Korrekturen für alle Schleifenordnungen.
Diese sind also relevant, unabhängig davon, ob Sie nicht-polynomiale Invarianten verwenden oder nicht.
QMechaniker
Bob Bee
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