Warum impliziert eine flache Metrik Koordinaten?

Die Angabe der metrischen Komponenten als Matrix führt zwangsläufig zu einem bestimmten Koordinatenaufbau. Betrachten Sie es so: Sie haben ein Paar von Ereignissen, die infinitesimal voneinander getrennt sind, so dass das Raumzeitintervall ist$ds^2$zwischen ihnen. In einem generischen Koordinatensystem würde dies das bedeuten$g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^\nu=ds^2$. Wenn ich nun zu einem Referenzrahmen gehe, in dem die metrischen Komponenten nach Minkowski aussehen (d.h. meine metrischen Komponenten sind$\eta_{\alpha\beta}$) bedeutet dies, dass das Raumzeitintervall zwischen den beiden Ereignissen beschrieben wird durch$(ds^2=)\eta_{\alpha\beta}dx^\alpha dx^\beta$Wo${x^\alpha}$sind meine Koordinaten. Mit anderen Worten, das Raumzeitintervall in dem Referenzrahmen, in dem die Metrik nach Minkowski aussieht, ist gegeben durch$-dt^2+dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2$bei dem die$t$und das$x$s sind die Koordinaten. Und das ist genau die Definition der kartesischen Koordinaten, die sie auf diese Weise hinzufügen, um Ihnen das Raumzeitintervall zu geben. Die Tatsache, dass Ihre Koordinaten kartesisch sind, wenn Ihre Metrik Minkowskisch ist, ist also nicht so sehr ein Wunder, sondern eine Art Konsistenzanforderung der beteiligten Definitionen. Aber die erstaunliche (im Sinne von nicht triviale) Tatsache ist, dass Sie an jedem Punkt (unabhängig von der Krümmung der globalen Raumzeit) immer einen Rahmen finden können, in dem die Metrik lokal Minkowski-artig aussieht .

Bearbeiten Ich sollte hinzufügen, dass ein flacher Raum Ihre Metrik nicht an Minkowskis festlegt, und die Tatsache, dass Sie immer (lokal) eine Minkowskis-Metrik auswählen können, lässt Sie sagen, dass Sie Ihre Raumzeit immer lokal flach machen können. Bei der Flachheit geht es um die Trivialität des Riemann-Tensors, der als tensorielle Tatsache unabhängig von der Wahl des Rahmens bleibt.

Die Physik stammt aus dem Äquivalenzprinzip, bei dem die Schwerkraft gleichbedeutend mit einem beschleunigten Rahmen ist (und verschiedenen anderen Möglichkeiten, die Äquivalenz von Trägheits- und Gravitationsmasse anzugeben). Wenn Sie also frei in einem Gravitationsfeld schweben, befinden Sie sich in einem ungefähr inertialen Rahmen - es fühlt sich an, als ob es lokal keine Kräfte gibt.

Sie können also diese lokalen Koordinaten verwenden, um lokal keine Schwerkraft (dh keine Kräfte) zu spüren. Das bedeutet, dass die Metrik lokal als Minkowski bezeichnet werden kann und die Verbindung oder Ableitungen der Metrik lokal Null sind. Die zweiten Ableitungen sind nicht alle Null, was bedeutet, dass es eine gewisse kovariante Krümmung gibt. Es ist eine Gezeitenkraft, die man nur spürt, wenn man zu groß und damit nicht mehr lokal genug ist. Aufgrund des Äquivalenzprinzips spüren alle Teile Ihres Körpers, wenn sie lokal genug sind, die gleiche Kraft, sodass Sie keine Kräfte spüren, die eine relative Beschleunigung auf Ihre Körperteile ausüben (wenn lokal genug, wenn nicht, spüren Sie die Gezeitenkräfte aufgrund von zweite Ableitung der Metrik, dh Krümmung)

Das besagt auch, dass lokal die spezielle Relativitätstheorie gilt, wie man es sich ohne Gravitationsfeld wünschen würde.