Warum ist die Eigenzeit ein Maß für den Raum?

Vor kurzem habe ich versucht, die Allgemeine und Spezielle Relativitätstheorie selbst zu lernen. Es gibt eine bestimmte Sache, die ich nicht ganz verstehe, die Eigenzeit in der Metrik der Raumzeit.

Nehmen wir den Fall einer leeren Raumzeit:

− C 2 D τ 2 = − C 2 D T 2 + D X 2 + D j 2 + D z 2
Wo τ ist die Eigenzeit eines Objekts.

Ich verstehe nicht wann C 2 D τ 2 wird benutzt als D S 2 . Warum ist das möglich? Es hängt mit der Weltlinie zusammen, die von einem Objekt verfolgt wird? Könnten Sie das Linienintegral berechnen, um die Länge des Pfades des Objekts zu ermitteln? Dieses Linienintegral würde die Weglänge einer Geodäte ergeben?

Könnten Sie auf diese Weise die Geschwindigkeit eines Objekts ermitteln (korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege):

− C 2 D τ 2 = − C 2 D T 2 + D X 2 + D j 2 + D z 2 → − C 2 ( D τ D T ) 2 = − C 2 + ( D X D T ) 2 + ( D j D T ) 2 + ( D z D T ) 2
Wenn Sie davon ausgehen: X ˙ 2 + j ˙ 2 + z ˙ 2 = | | v | | 2 , dann könntest du durch ein wenig Umstellen der Gleichung die Geschwindigkeit eines Objekts erhalten.

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In der Relativitätstheorie hängen Begriffe wie „Raum“ und „Zeit“ davon ab, welches Koordinatensystem Sie verwenden. Es gibt jedoch einige physikalische Größen, über die sich alle Beobachter einig sind. Angenommen, es gibt eine Uhr, die sich von einem Punkt aus entlang einer Bahn bewegt X ich in der Raumzeit zu einem anderen Punkt X F . ( Punkte in der Raumzeit haben eine unveränderliche Bedeutung, aber die Art und Weise, wie wir sie bezeichnen, hängt von dem verwendeten Koordinatensystem ab, dh dem Raumzeitpunkt X könnte in einigen Koordinaten geschrieben werden als ( X 0 , X → ) oder in einigen anderen Koordinaten als ( X 0 ' , X → ' ) .)

Alle Beobachter werden sich darauf einigen, wann die Uhr ihre Reise beginnt und wann sie ihre Reise beendet. Die verstrichene Zeit wird durch das eigene Zeitintegral vom Startpunkt bis zum Endpunkt angegeben

Δ τ = ∫ X ich X F D τ .
Das gibt Ihnen die Raumzeit-Metrik: ein unveränderliches Maß dafür, wie viel Eigenzeit vergeht, wenn sich eine Uhr entlang eines Pfades bewegt.

D S 2 = − C 2 D T 2 + D X 2 + D j 2 + D z 2

Wenn das Ergebnis positiv ist, entspricht die Gleichung einem raumartigen Weltliniensegment. Es ist immer möglich, einen Rahmen zu finden, damit D T = 0 und zwei durch das Segment verbundene Ereignisse sind für diesen Rahmen simultan und finden an unterschiedlichen räumlichen Orten statt.

Wenn das Ergebnis negativ ist, handelt es sich um ein zeitähnliches Segment. Es ist immer möglich, einen Rahmen zu finden, damit D X 2 + D j 2 + D z 2 = 0 und zwei Ereignisse, die durch das Segment verbunden sind, treten für diesen Frame am selben Ort , aber zu unterschiedlichen Zeiten auf.

In dieser letzten Situation die Menge D T 2 = D τ 2 , ist die richtige Zeit. Die Zeit einer im Rahmen ruhenden Uhr.

Zu deiner Frage im letzten Absatz: ja. Irgendwo hast du aber einen Faktor von -1 verloren. Sobald Sie es wieder eingesetzt haben, versuchen Sie, es zu lösen D τ und vereinfachen. Die rechte Seite wird sein γ − 1 D T , die Lorentz-Transformation für die Zeit.

Warum ist die Eigenzeit ein Maß für den Raum?
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