Was ist der physikalische Inhalt der Invarianz des Raumzeitintervalls in GR?

Question

Was ist der physikalische Inhalt der Invarianz des Raumzeitintervalls in GR?

Rentier

Das Raumzeitintervall in einem Koordinatensystem ist gegeben durch:

\begin{matrix} (1) & G_{μ v} D X^{μ} D X^{v} \end{matrix}

$g_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu} \tag{1}$

d x

$dx$ ist ein infinitesimaler Verschiebungsvektor zwischen zwei Ereignissen.

Das Raumzeitintervall nach einem Wechsel des Koordinatensystems ergibt sich aus dem Algorithmus: Basis der Matrix ändern $g_{\mu \nu}$ , Ändern Sie die Basis des Vektors $dx^{\mu}$ , und berechnen Sie dann die gleiche Menge wie in $(1)$ .

Ein Basiswechsel lässt also natürlich das Raumzeitintervall unverändert. Das ist eine rein mathematische Tatsache.

Was ist hier der physische Inhalt? Ich verstehe den physikalischen Inhalt des Raumzeitintervalls in $SR$ , weil dort die vier Komponenten von $dx^{\mu}$ beziehen sich auf tatsächliche Raum- und Zeitmessungen mit Uhren und Stöcken.

In GR jedoch $dx^{u}$ ist abstrakter, da sich die vier Indizes nicht auf Raum- und Zeitmaße beziehen, sondern auf verallgemeinerte Koordinaten....

In der Tat, selbst wenn wir davon ausgehen, dass die vier Indizes von $dx^{\mu}$ in GR auf tatsächliche Raumzeitmessungen eines Beobachters beziehen, dann muss ein "Wechsel zu einem anderen verallgemeinerten Koordinatensystem" nicht einen "Wechsel zu einer anderen physikalischen Situation " bedeuten. Lassen Sie mich erklären.

Angenommen, ein GR-Beobachter misst $dx^{\mu}={dt, dx, dy, dz}$ mit Stöcken und Uhren und rechnet $(1)$ . Dann wechseln wir zu einem anderen Koordinatensystem: $(dt, r, \theta, \phi)$ , und dann berechnen wir $(1)$ wieder und finde es unveränderlich. Dies ist jedoch keine Überraschung, da die Änderung der Koordinaten rein mathematisch war. Die "neuen Koordinaten" beziehen sich auf denselben Beobachter, der verschiedene Variablen verwendet, um die Raumzeit zu parametrisieren.

In SR ist die Invarianz von $(1)$ bezieht sich auf Raumzeitmessungen, die von Beobachtern in zwei verschiedenen physikalischen Situationen gemacht wurden. Bei GR ist das auch nicht der Fall.

ACuriousMind

Ich bin mir nicht 100% sicher, was die eigentliche Frage hier ist, aber sehen Sie sich diese Frage und ihre Antworten an, um zu diskutieren, was die spezielle Symmetrie in GR tatsächlich ist.

Rentier

@ACuriousMind Idk irgendetwas über Gauge-Transformationen. Kann deine Antwort nicht nachvollziehen

Myridium

Der physikalische Inhalt ist eine zugrunde liegende Annahme, dass es eine „objektive Wahrheit“ im Universum gibt. Dass alle Beobachter, wie auch immer sie Dinge messen mögen, dasselbe zugrunde liegende mathematische Objekt messen. Symmetrien beziehen sich auf die Änderungen von Koordinaten, bei denen die Physik für Sie gleich „aussieht“, und Sie können nicht wirklich sagen, dass Sie ein seltsames Koordinatensystem verwenden. ZB in der klassischen Physik der Lagrangian

L

$\mathcal L$ repräsentiert ein „objektives“ Skalarfeld über der Mannigfaltigkeit. Wenn das eine Lagrange

L

$\mathcal L$ 'sieht gleich aus' in zwei Koordinatensystemen geschrieben, das ist eine Symmetrie.

Antworten (2)

Was ist der physikalische Inhalt der Invarianz des Raumzeitintervalls in GR?

Ich bin mir nicht 100% sicher, was die eigentliche Frage hier ist, aber sehen Sie sich diese Frage und ihre Antworten an, um zu diskutieren, was die spezielle Symmetrie in GR tatsächlich ist.
@ACuriousMind Idk irgendetwas über Gauge-Transformationen. Kann deine Antwort nicht nachvollziehen
Der physikalische Inhalt ist eine zugrunde liegende Annahme, dass es eine „objektive Wahrheit“ im Universum gibt. Dass alle Beobachter, wie auch immer sie Dinge messen mögen, dasselbe zugrunde liegende mathematische Objekt messen. Symmetrien beziehen sich auf die Änderungen von Koordinaten, bei denen die Physik für Sie gleich „aussieht“, und Sie können nicht wirklich sagen, dass Sie ein seltsames Koordinatensystem verwenden. ZB in der klassischen Physik der Lagrangian $\mathcal L$ repräsentiert ein „objektives“ Skalarfeld über der Mannigfaltigkeit. Wenn das eine Lagrange $\mathcal L$ 'sieht gleich aus' in zwei Koordinatensystemen geschrieben, das ist eine Symmetrie.

Andreas · Answer 1

Andreas

An jedem Raumzeitpunkt $x$ , können Sie immer zu lokalen Trägheitskoordinaten gehen, wo $g_{\mu\nu}$ bei $x$ ist einfach die Minkowski-Metrik, $\eta_{\mu\nu}$ , und die Christoffel-Symbole verschwinden. Hoffentlich ist klar, dass es sich bei diesen Koordinaten um eine kleine Nachbarschaft handelt $x$ , die Interpretation des invarianten Raumzeitintervalls in einer Umgebung von $x$ ist dasselbe wie die Interpretation des invarianten Raumzeitintervalls in der speziellen Relativitätstheorie. Die Tatsache, dass das Intervall unter allgemeinen Koordinatenwahlen invariant ist, bedeutet, dass wir das Intervall in jedem Koordinatensystem berechnen können, ohne explizit zu lokalen Trägheitskoordinaten gehen zu müssen.

Insbesondere kann in beliebigen Koordinaten berechnet werden, ob der Abstand zwischen zwei benachbarten Punkten raumartig, zeitartig oder null ist. Da der Wert des Intervalls unveränderlich ist, wissen wir, ohne irgendwelche Berechnungen durchführen zu müssen, dass wir immer zu einem lokalen Trägheitssystem gehen könnten, wo wir unsere Intuition über räumliche, zeitliche und Nullabstände von der speziellen Relativitätstheorie verwenden können.

Rentier

aber diese Invarianz ist nur eine mathematische Wahrheit. Es sagt nur, dass Sie die gleichen Zahlen berechnen können, während Sie in verschiedenen Vektorbasen arbeiten. Die Intervallinvarianz in SR ist eine Tatsache über Raumzeitmessungen, die von verschiedenen Beobachtern in Relativbewegung gemacht wurden. Das ist nicht nur eine mathematische Wahrheit.

Kurt g.

@Rentier . Sie sollten zwischen den Koordinaten unterscheiden

t, x, y, z

$t,x,y,z$ oder

t, r, θ, ϕ

$t,r,\theta,\phi$ die ein Beobachter frei wählen kann, und die gestrichenen Koordinaten

t^{'}, x^{'}, y^{'}, z^{'}

$t',x',y',z'$ oder

t^{'}, r^{'}, θ^{'}, ϕ^{'}

$t',r',\theta',\phi'$ dass ein anderer Beobachter frei wählen kann. Der physikalische Inhalt der Raum-Zeit-Intervall-Invarianz ist, dass sie in gleich ist

S

$S$ Und

S^{'}

$S'$ . Der Übergang von SR zu GR besteht einfach darin, dass Sie infinitesimale Raumzeitintervalle integrieren, um beispielsweise die Eigenzeit zu erhalten

τ

$\tau$ . Diese Eigenzeit ist für alle Beobachter gleich.

Andreas

@RainDeer Du triffst einen wichtigen Punkt. In SR können Sie die Koordinaten auf physikalische Weise in Bezug auf das interpretieren, was Sie mit einer Uhr und einem Lineal messen würden. In GR sind die Koordinaten nicht physikalisch. Wir wechseln zwischen Koordinatensystemen, je nachdem, was nützlich ist. Geht man jedoch zu den lokalen Trägheitskoordinaten an einem Punkt

x

$x$ in GR, dann (nahe

x

$x$ ), können Sie sich die Koordinaten als das vorstellen, was ein Beobachter in der Nähe hat

x

$x$ würde sehen, und so können Sie Ihre SR-Intuition in diesen Koordinaten verwenden.

Andreas

Obwohl die lokalen Trägheitskoordinaten konzeptionell sehr schön sind, ist es in der Praxis jedes Mal mühsam, sie in diese Koordinaten umzuwandeln, wenn Sie eine Frage stellen möchten, was ein Beobachter an diesem Punkt sehen würde

x

$x$ . Der übliche Trick besteht also darin, koordinateninvariante Größen zu finden, die sich auf etwas mit bekannter Bedeutung in einem leicht zu interpretierenden Koordinatensystem reduzieren lassen. Dann können Sie die koordinateninvariante Größe in jedem Koordinatensystem berechnen.

Rentier

Würden Sie sagen, dass die Lorentz-Invarianz eine Entdeckung über das Verhalten der Raumzeit ist, während die Diffeomorphismus-Invarianz eher eine mathematische Wahrheit ist?

Tal · Answer 2

Tal

Was ist hier der physische Inhalt?

Der physikalische Inhalt ist, dass Entfernungs- und Zeitmessungen nicht von der Wahl der Koordinaten abhängen.

selbst wenn wir annehmen, dass sich die vier Indizes von 𝑑𝑥𝜇 in GR auf tatsächliche Raumzeitmessungen eines Beobachters beziehen,

Nein, das ist keine gültige Annahme. Die Koordinaten sind keine Maße, sie sind nur Beschriftungen. Die eigentlichen Raumzeitmessungen sind Invarianten wie $g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$

youpilat13

Entweder ein Nit oder ich könnte mich irren:

g_{μ ν} d x^{μ} d x^{ν}

$g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$ ist nur dann eine tatsächliche Messung, wenn das Intervall zeit-/lichtartig ist, oder? Für das raumähnliche Intervall wäre jede tatsächliche Längenmessung eine „Zwei-Wege“-Messung, und es wird nicht einfach sein

g_{μ ν} d x^{μ} d x^{ν}

$g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$ . Zum Beispiel Zee, Kapitel V.3, Gl. (9). Mir ist klar, dass man entlang einer raumartigen Kurve eine richtige Länge definieren kann und diese das Integral von sein wird

\sqrt{g_{μ ν} d x^{μ} d x^{ν}}

$\sqrt{g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu}$ aber ich bin mir nicht sicher, ob es etwas ist, das man messen kann.

Myridium

Entfernungs- und Zeitmessungen hängen von der Wahl der Koordinaten ab; das ist die Wahl! Wir haben sogenannte Trägheitsrahmen als diese spezielle Teilmenge von Koordinatenauswahlen , die dieselbe Physik auf eine „forminvariante“ Weise reproduzieren (z. B. eine Auswahl von Lagrange oder Pfadintegral in QFT, „sehen“ gleich aus, wenn sie in zwei verschiedenen geschrieben werden Koordinatensysteme - dies ist eine Symmetrie). Allgemeiner können andere Wahlen von Koordinaten Symmetrien einiger Theorien sein, z. B. sogenannte „Skaleninvarianz“ in der QED mit einem masselosen Fermion.

Tal

@Myridium Ich bin anderer Meinung. Eine Uhr misst die gleiche Zeitspanne zwischen zwei Ereignissen auf ihrer Weltlinie, unabhängig von den verwendeten Koordinaten. Tatsächlich können Sie sogar Koordinaten verwenden, die keine zeitähnlichen Koordinaten oder mehrere zeitähnliche Koordinaten haben. Unabhängig von den Koordinaten misst die Uhr dasselbe

Myridium

Die Entfernungs- und Zeitmessungen (die Koordinaten, Tangentenvektoren) ändern sich also, aber die Metrik ändert sich kovariant, sodass das Raumzeitintervall invariant ist. Oder Sie können sagen, dass sich die Physik ändert, sodass alle Prozesse mit halber Geschwindigkeit ablaufen (was eine Skalierung der Zeitmessung berücksichtigt).

Tal

@DivjDC es ist ein wenig schwierig für raumartige Intervalle. Angenommen, Sie haben Längen auf einer idealen Schnur markiert, die Sie straff gezogen haben. Die Schnur bildet ein Weltblatt, das misst

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ entlang bestimmter Geodäten, die im Weltblatt liegen. Diese Geodäten werden gefunden, indem man ein beliebiges Ereignis auf dem Weltblatt nimmt und „gerade“ in die Richtung geht, die senkrecht zur Kongruenz der Schnur und parallel zur Schnur verläuft. Es ist sicher nicht trivial, welche Länge gemessen wird, aber es handelt sich tatsächlich um eine Längenmessung.

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