Reicht dieses geometrische Argument aus, um zu zeigen, dass die spezielle Relativitätstheorie von einer flachen Raumzeit ausgeht?

Question

Reicht dieses geometrische Argument aus, um zu zeigen, dass die spezielle Relativitätstheorie von einer flachen Raumzeit ausgeht?

João Vitor G. Lima

Ich bereite mich darauf vor, in ein paar Wochen eine Klasse über spezielle Relativitätstheorie zu unterrichten. Um sicherzustellen, dass sie verstehen, dass die Raumzeit flach sein muss, damit die spezielle Relativitätstheorie funktioniert, habe ich das folgende Argument entwickelt, das auf der berühmten Ableitung der Zeitdilatation basiert, bei der ein sich bewegender Referenzrahmen ( $S'$ ) sieht Licht aufgrund der Bewegung zwischen den Referenzrahmen einen längeren Weg. Grundsätzlich diese Ableitung.

Um etwas Kontext zu schaffen und die Notation zu definieren, hier ist das Bild, das ich verwende:

Es gibt also einen Referenzrahmen $S$ , stationär relativ zu einer Lichtquelle. Ein weiterer Rahmen $S'$ bewegt sich mit Geschwindigkeit von der Quelle weg $v$ . Licht wird emittiert und braucht Zeit $t$ im Rahmen $S$ um die „Decke“ zu erreichen. Wenn wir das Bezugssystem betreten $S'$ Wir sehen, dass Licht aufgrund der Bewegung des Rahmens einen anderen Weg nimmt $S$ (Dadurch wird der Rahmen $S'$ eine Zeit messen $t'$ bis das Licht die 'Decke' erreicht). Das berühmte Bild für diesen Effekt ist:

Hier beginnt nun meine Argumentation:

Wenn wir die Lichtbewegung in beiden Rahmen zeichnen, können wir wie gezeigt ein rechtwinkliges Dreieck erstellen. Aber um die Zeitdilatationsformel herzuleiten, müssen wir letztendlich annehmen, dass der Satz des Pythagoras gilt! Da die Lorentz-Transformationen für die spezielle Relativitätstheorie von diesem Schritt abhängen (und so die gesamte spezielle Relativitätstheorie), scheint es, dass die gesamte spezielle Relativitätstheorie von der Annahme abhängt , dass der Satz des Pythagoras funktionieren wird.

Aber der Satz des Pythagoras gilt nur, wenn die Geometrie euklidisch ist! Daher funktioniert die spezielle Relativitätstheorie nur, wenn der Raum eine euklidische Geometrie hat.

Von hier aus würde ich die Idee vorstellen, dass wir die Allgemeine Relativitätstheorie (GR) verwenden müssten, um die Relativitätstheorie auf eine beliebige Geometrie zu verallgemeinern. Aber GR selbst sagt, dass die Raumzeit für ausreichend kleine Regionen immer ungefähr flach sein kann, was bedeutet, dass die spezielle Relativitätstheorie für Laborexperimente, Teilchenwechselwirkungen usw. auf der Erde gilt, da der Weltraum für diese Fälle ungefähr euklidisch ist.

Und das ist das Argument, das ich vorbringen möchte. Ich befürchte jedoch, dass dieses Argument aus irgendeinem Grund nicht richtig ist (vielleicht gibt es einen Fehler in der Beziehung zwischen flacher Raumzeit und euklidischem Raum, aber ich bin mir nicht sicher). Ich habe einen akzeptablen Hintergrund in der Speziellen Relativitätstheorie, daher sind komplexe Erklärungen und andere (richtige) Argumente dafür willkommen. Mein Problem ist, dass ich mit der Mathematik von GR nicht so vertraut bin, und dies könnte zu einem großen Problem für alle Argumente werden, die ich hier erwähne.

Also frage ich: Gibt es einen Fehler in dieser Argumentation? Oder hält es? Ist es ausreichend? Wenn nicht, korrigieren Sie mich bitte und/oder verlinken Sie mich mit einem wirklich guten Argument, das ich vorbringen könnte. Meine Schüler haben auch noch nie in ihrem Leben einen Tensor gesehen, also meide sie wenn möglich. Aber trotzdem ist jede Hilfe willkommen!

Halbbart

Bedenken Sie, dass die hier vorgestellte Gleichung für Ihre Schüler verwirrend sein könnte, da Sie t und t' aus den verschiedenen Referenzrahmen auf der rechten Seite mischen. Die Zeichnung könnte auch den Anschein erwecken, als ob das Licht von zwei verschiedenen Punkten in der Raumzeit stammt.

Benutzer4552

Eine sehr rigorose und streng begründete Abhandlung, die bei solchen Dingen gute Arbeit leistet, ist Bertel Laurent, Einführung in die Raumzeit: ein erster Kurs zur Relativitätstheorie. Ein anderer Ansatz, der von Interesse sein könnte, ist in meinem SR-Buch, lightandmatter.com/sr (Abschnitte 2.2 und 2.5). Es ist relativ einfach, eine typische Darstellung von SR zu nehmen und eine oder mehrere Stellen herauszupicken, an denen Flachheit implizit angenommen, aber nie explizit beschworen wurde. Es ist schwieriger, das ganze Gerüst aufzubauen, ohne zu bemerken, dass Sie solche impliziten Annahmen getroffen haben.

Antworten (1)

Reicht dieses geometrische Argument aus, um zu zeigen, dass die spezielle Relativitätstheorie von einer flachen Raumzeit ausgeht?

Bedenken Sie, dass die hier vorgestellte Gleichung für Ihre Schüler verwirrend sein könnte, da Sie t und t' aus den verschiedenen Referenzrahmen auf der rechten Seite mischen. Die Zeichnung könnte auch den Anschein erwecken, als ob das Licht von zwei verschiedenen Punkten in der Raumzeit stammt.
Eine sehr rigorose und streng begründete Abhandlung, die bei solchen Dingen gute Arbeit leistet, ist Bertel Laurent, Einführung in die Raumzeit: ein erster Kurs zur Relativitätstheorie. Ein anderer Ansatz, der von Interesse sein könnte, ist in meinem SR-Buch, lightandmatter.com/sr (Abschnitte 2.2 und 2.5). Es ist relativ einfach, eine typische Darstellung von SR zu nehmen und eine oder mehrere Stellen herauszupicken, an denen Flachheit implizit angenommen, aber nie explizit beschworen wurde. Es ist schwieriger, das ganze Gerüst aufzubauen, ohne zu bemerken, dass Sie solche impliziten Annahmen getroffen haben.

Knzhou · Answer 1

Nein, flacher Raum garantiert keine flache Raumzeit. Stellen Sie sich zum Beispiel eine Raumzeit mit einem schwachen Gravitationsfeld vor, das dem Gravitationspotential entspricht $\phi$ . Es kann durch die Metrik beschrieben werden

G_{00} = - (1 + 2 ϕ), G_{ich J} = δ_{ich J}

$g_{00} = - (1 + 2 \phi), \quad g_{ij} = \delta_{ij}$ die einen perfekt flachen Raum, aber eine nicht flache Raumzeit hat.

Selbst wenn der Raum nicht flach wäre, würde der Satz des Pythegoras immer noch auf die Lichtuhr zutreffen, weil man die Lichtuhr beliebig klein und damit räumliche Krümmungseffekte vernachlässigen kann. Und wir gehen implizit immer davon aus, dass die Lichtuhr klein ist. In der Praxis würde zum Beispiel der größte Fehler von einer unterschiedlichen Gravitationszeitdilatation zwischen oben und unten kommen, die von der Raumzeitkrümmung herrührt , aber wir ignorieren dies immer, weil die Lichtuhr nicht hoch sein soll.

Auf jeden Fall glaube ich nicht, dass dieses Argument das zeigt, was Sie zeigen möchten, obwohl ich denke, dass Sie es als Ausgangspunkt verwenden können, um weitere Diskussionen zu motivieren.

Ah, das macht Sinn. Ich bin jedoch versucht, noch einmal zu fragen: Impliziert das Argument zumindest eine lokale euklidische Geometrie des Raums (nicht der Raumzeit)?
@JoãoVítorG.Lima In der Tat sehen sowohl Raum als auch Raumzeit immer flach aus, wenn Sie nur lokal schauen (mit einer kleinen Lichtuhr). Man kann also mit einem solchen Gerät nicht darauf schließen, ob Raum oder Raumzeit tatsächlich flach sind.

Reicht dieses geometrische Argument aus, um zu zeigen, dass die spezielle Relativitätstheorie von einer flachen Raumzeit ausgeht?

João Vitor G. Lima

Halbbart

Benutzer4552

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Knzhou

João Vitor G. Lima

Knzhou

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