Kann die Schwarzschild-Metrik aus krummlinigen Koordinaten in der speziellen Relativitätstheorie abgeleitet werden?

Betrachten wir ein einfaches Szenario, in dem ein Teilchen einer konstanten Kraft ausgesetzt ist, nimmt es in einem Minkowski-Diagramm eine hyperbolische Bahn. Wenn wir davon ausgehen, dass Teilchen mit gleichem Abstand im selben Moment zu beschleunigen beginnen, dann gibt es viele hyperbolische Linien des gleichen Typs, die jedoch horizontal verschoben sind. Diese hyperbolischen Linien dienen als unsere Linien für das gekrümmte Raumgitter und die Reflexion dieser Linien auf der Linie j = X wird als unser gekrümmtes Zeitgitter fungieren, weil wir uns ein sich bewegendes Licht vorstellen können, das an allen Teilchen vorbeigeht, um einem Tick zu entsprechen. Nachdem wir dieses krummlinige Koordinatensystem konstruiert haben, können wir die Christoffel-Symbole finden, indem wir die Änderungsrate der Raum- und Zeittangentenvektoren in Bezug auf die Raum- und Zeitachsen finden und sie als lineare Kombination der Raum- und Zeitachsentangente ausdrücken Vektor. Nachdem wir alle Christoffel-Symbole berechnet haben, können wir diese verwenden, um den metrischen Tensor zu berechnen und die Zeit-Zeit- und Radius-Radius-Komponenten der Schwarzschild-Metrik zu erhalten?

Angenommen, die hyperbolische Bahn eines bei x = 0 beginnenden Teilchens sei gegeben durch ( X + A ) 2 − A 2 Wo A = M ' C 2 F

Sie haben eine gute Antwort auf Ihre Frage erhalten, aber ich denke, dass Ihnen Greg Egans Artikel über den Rindler-Horizont gefallen könnte : „Der Zweck dieser Webseite ist es also, einige interessante Gedanken im Detail zu analysieren (nur unter Verwendung der speziellen Relativitätstheorie). Experimente, die von einem ständig beschleunigenden Beobachter durchgeführt werden können, der in der Raumzeit einen „Rindler-Horizont“ sieht, der dem Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs sehr ähnlich ist, ist sicherlich kein perfekter Ersatz für eine vollständige, allgemein-relativistische Analyse [ ...]"

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Kann die Schwarzschild-Metrik aus krummlinigen Koordinaten in der speziellen Relativitätstheorie abgeleitet werden?

Die Antwort ist nein , die Schwarzschild-Metrik hat einen nicht verschwindenden Riemann-Krümmungstensor, während die Minkowski-Metrik einen verschwindenden Riemann-Tensor hat. Da der Riemann-Krümmungstensor ein Tensor ist, verschwinden seine Komponenten, wenn sie in einem Koordinatensystem verschwinden, in allen Koordinatensystemen.

Wie sieht man das? Ein schneller Weg ist das Tensortransformationsgesetz:

R μ ' v ' a ' β ' μ ' = ∂ X μ ' ∂ X μ ∂ X v ∂ X v ' ∂ X a ∂ X a ' ∂ X β ∂ X β ' R μ v a β μ .

Beachten Sie, dass wenn R μ v a β μ in einem Koordinatensystem verschwindet, verschwinden die Komponenten in jedem anderen. Sie können also kein Koordinatensystem in der Minkowski-Raumzeit definieren, das Ihnen die Schwarzschild-Raumzeit liefert.

Ich sollte anmerken, dass man argumentieren kann, dass die horizontnahe Region der Schwarzschild-Geometrie als isometrisch zu einem Teil der Minkowski-Raumzeit, bekannt als Rindler-Keil, gezeigt werden kann. Dies hängt eng mit Ihrer Argumentation zusammen. Dies ist jedoch eine Annäherung, bei der man die Metrik um den Horizont herum auf erste Ordnung erweitert. Dies wird z. B. in Susskinds „ An Introduction to Black Holes, Information and the String Theory Revolution: The Holographic Universe “ argumentiert, das ich Ihnen zum Ansehen empfehle.

Abgesehen davon möchte ich anmerken, dass die beiden Raumzeiten sogar topologisch verschieden sind . Die Schwarzschild-Geometrie hat eine Topologie

R × ( 0 , 2 M ) ∪ ( 2 M , + ∞ ) × S 2 ,
während die Minkowsi-Raumzeit eine Topologie hat R 4 .

Man kann argumentieren , dass es möglich ist, die Schwarzschild-Raumzeit zu erweitern, um die „Punkte bei“ hinzuzufügen R = 2 M „ da man zeigen kann, dass die Metrik dort nicht wirklich singulär ist und da diese Punkte von Beobachtern zu endlicher Eigenzeit erreicht werden. R = 0 ist eine echte geometrische Singularität , weil dort eine Krümmungsinvariante divergiert. Dies macht es unmöglich, diesen Punkt hinzuzufügen, wodurch die beiden Lösungen wirklich topologisch verschieden sind. Einzelheiten zu diesem Thema, insbesondere zur maximalen Erweiterung von Kruskzal-Szekeres, finden Sie im Phys.SE-Thread "Are Minkowski and Schwarzschild spacetimes diffeomorphic?"

Warum ist die Singularität r = 0 für die Topologie wichtig? Sie können den Homöomorphismus der Schwarschild-Raumzeit zu konstruieren R 4 durch Verwendung von Kruskal-Szekeres-Koordinaten und somit sollten die beiden Räume topologisch gleich sein. Die Singularität, die kein Punkt der Mannigfaltigkeit ist, hilft tatsächlich beim Erstellen der Karte (ich bin mir über das Ergebnis nicht sicher, wenn die Singularität enthalten wäre, da Sie dann die Singularität auf unendlich abbilden müssen, wodurch die Karte nicht bijektiv ist).
Es ist wichtig, weil die Singularität dazu führt, dass Sie eine ganze Zeile ausschließen. Weitere Einzelheiten zu diesem Thema finden Sie unter physical.stackexchange.com/questions/432035/… und in der großartigen Antwort von @ValterMoretti.
Kann die Schwarzschild-Metrik aus krummlinigen Koordinaten in der speziellen Relativitätstheorie abgeleitet werden?
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