Eddington-Finkelstein-Koordinaten: Warum ln(r−2m)ln⁡(r−2m)\ln(r-2m) statt ln|r−2m|ln⁡|r−2m|\ln|r-2m|?

Betrachtet man die Schwarzschild-Metrik

D S 2 = − v ( R ) D T 2 + 1 v ( R ) D R 2 + R 2 D Ω 2 , v ( R ) = 1 − 2 M R ,

und führt die Eddington-Finkelstein-Koordinaten ein

v = T + F ( R ) , u = T − F ( R ) , F ' ( R ) = 1 v ( R ) .

die Koordinatensingularität bei R = 2 M verschwindet und die Metrik lautet:

D S 2 = − v ( R ) D v D u + R 2 D Ω 2 .

Allerdings durch Integration F ' zu bekommen F Ich würde rechnen

F ( R ) = ∫ 1 v ( R ) D R = ∫ ( 1 + 2 M R − 2 M ) D R = R + 2 M ln ⁡ | R − 2 M | .

Aber in Büchern und Vorlesungsskripten lese ich immer ln ⁡ ( R − 2 M ) anstatt ln ⁡ | R − 2 M | . Ist das nicht falsch? Meiner Meinung nach macht das einen Unterschied.

Zum Beispiel, wenn ich die Kruskal-Szekeres-Koordinaten einführe

bräunen ⁡ v = e a v , bräunen ⁡ U = − e − a u , a = 1 4 M
Ich bekomme
bräunen ⁡ v bräunen ⁡ U = − e R 2 M | R − 2 M |
anstatt
bräunen ⁡ v bräunen ⁡ U = − e R 2 M ( R − 2 M )
Aber diese beiden Fälle führen zu unterschiedlichen Penrose-Diagrammen.

Warum ist es also falsch, den absoluten Wert von zu verwenden? R − 2 M im Logarithmus?

PS: Wenn es um die Reissner-Nordstrom-Metrik geht, finde ich überraschend, dass alle Bücher und Notizen die Größe im Argument des Logarithmus verwenden. Aber warum nicht im Fall von Schwarzschild?

Ich denke , die EF-Koordinaten werden unterschiedlich definiert, je nachdem, ob Sie sich innerhalb oder außerhalb des Horizonts befinden, sodass der absolute Wert nicht erforderlich ist.
Soweit ich weiß ist dies nicht der Fall. Weil der Ausdruck für die Kruskal-Szekeres-Koordinaten bräunen ⁡ v bräunen ⁡ U = − e R 2 M ( R − 2 M ) verursacht keine Probleme innerhalb oder außerhalb des Schwarzen Lochs (also auch wenn Sie nicht die absoluten Werte verwenden ...).
@RyanUnger wie werden die Finkelstein-Koordinaten innerhalb des Horizonts unterschiedlich definiert. Soweit ich weiß, sind sie definiert als v = T − R ⋆

Antworten (1)

Das Problem hier ist, dass die Schwarzschild-Koordinaten durch die Koordinatensingularität bei in zwei getrennte Flecken geteilt werden R = 2 M . Es gibt keine physische Verbindung und die beiden Teile können als separate Lösungen betrachtet werden.

Die Eddington-Finkelstein-Koordinaten nehmen die äußere Lösung und verlängern sie über den Horizont hinaus, aber innerhalb des Horizonts unterscheidet sie sich von der Schwarzschild-Lösung über die Koordinatensigularität hinaus.

Ein einfacher mathematischer Grund für das Fehlen des Betrags wäre, dass die Koordinatenänderung keine Bijektion wäre, die den Betrag als Funktion enthält v ( R , T ) = T + R + 2 M Protokoll ⁡ | R − 2 M | ist nicht injektiv on R ∈ [ 0 , ∞ ) . Wie oben ausgeführt, soll der Variablenwechsel nur den äußeren Teil der Raumzeit abbilden R ∈ ( 2 M , ∞ ) in die Eddington-Finkelstein-Koordinaten.

Der verwirrende Teil ist die Verwendung v ( R , T ) = T + R + 2 M Protokoll ⁡ | R − 2 M | kann zwar auch verwendet werden, um den inneren Teil der Schwarzschild-Koordinaten in die Eddington-Finkelstein-Koordinaten abzubilden, aber da wir die Änderung der Koordinaten eins zu eins fordern müssen, können wir sie dann nur für definieren R ∈ ( 0 , 2 M ) .

Also die Koordinatenänderung v ( R , T ) = T + R + 2 M Protokoll ⁡ | R − 2 M | können getrennt für die inneren und äußeren Abschnitte der Schwarzschild-Koordinaten verwendet werden, um sie in Eddington-Finkelstein-Koordinaten abzubilden, jedoch nicht beide Abschnitte gleichzeitig, dh die Eddington-Finkelstein-Koordinaten können als Verlängerung sowohl der inneren als auch der äußeren Schwarzschild-Lösung angesehen werden sie können nicht beide gleichzeitig integrieren.

Tolle Antwort ... ich wollte das Gleiche schreiben ... positiv bewertet!
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