Materialspannung durch Raumzeitkrümmung

Beginnend mit dem Grundkonzept der Gaußschen Krümmung schauen wir uns die in der Frage angegebene Metrik an und versuchen, daraus ein Konzept der Dehnung zu identifizieren. So sieht die hyperbolische Krümmung für 2D in 3D aus, und ich glaube, sie sollte sich ohne Materialänderung auf das aktuelle Problem von 3D auf 4D erstrecken.

Aus diesem Bild könnten wir uns vorstellen, den Umfang eines Kreises zu berechnen, wenn der Radius vom Mittelpunkt gegeben ist. Die Grundidee der hyperbolischen Geometrie ist, dass wir finden sollten$C'>2 \pi t$, Wo$t$ist der Radius eines Kreises in der Ebene. Ich gehe davon aus$t$konstant ist, so dass$C'$ist der Umfang nach dem Einfahren in den gekrümmten Raumbereich. Aus einer einfachen visuellen Untersuchung nehme ich an, dass die Erhebung der Oberfläche als Funktion des Winkels einer Sinusform folgt. Damit kann ich die Formel für die Bogenlänge einer Funktion erhalten$C'$. Ich substituiere auch$x=t \theta$um das Integral über den Winkel auszudrücken.

$$C' = \int_{a}^{b} \sqrt { 1 + [f'(x)]^2 }\, dx = t \int_{0}^{2 \pi} \sqrt { 1 + [f'(\theta)/t]^2 }\, d\theta$$

Durch Integrieren dieses Bogenlängenmultiplikators können wir den Umfang in Bezug auf die maximale Höhe setzen (ich nenne$h$) der Fläche am Radius$r$. Das Integral kann nicht einfach ausgewertet werden, also führe ich die Annahme ein$t \gg h$und verwenden Sie eine Taylor-Reihe des Ausdrucks.

$$C' = t \int_{0}^{2 \pi} \sqrt { 1 + (\frac{h}{t} \cos{\theta})^2 }\, d\theta \approx t \int_{0}^{2 \pi} \left( 1+ \frac{1}{2} (h/t)^2 \cos^2{\theta} \right) d\theta$$

Wenn sich der Kreis von einer flachen Raumzeitregion zu einer gekrümmten Region bewegt, ist das Verhältnis des neuen Umfangs zum alten Umfang effektiv die Dehnung entlang dieses Pfads.

$$\frac{C'}{C} = \frac{C'}{2 \pi r} = (h/t)^2/4 + 1$$

Die Definition der Gaußschen Krümmung ist die folgende, wobei$\kappa$ist ein Maß für die Krümmung in einer einzigen Richtung und die Umkehrung des Radius des Kreises, der dort zur Krümmung passen würde.

$$K = \kappa_1 \kappa_2 = \frac{1}{R_1} \frac{1}{R_2}$$

Ich möchte die Metrik trotzdem verwenden$K=-r_s/(2 r^3)$, aber dies gibt nicht die Aufschlüsselung der Krümmung in einer Achse gegenüber der anderen an. Also gehe ich einfach davon aus, dass sie gleich sind, um es zu geben$K=\kappa^2$. Neu anordnen, um zu finden$R=1/\sqrt{K}$. Dann finden wir durch die Idee eines Kreises in der "zusätzlichen" Dimension$h$indem der Radius in der Ebene mit dem Anstieg multipliziert wird, wenn man sich so weit entlang des Randes des großen Kreises in der zusätzlichen Dimension bewegt.

$$h = R (1-\cos{(t/R)}) \approx R \left( \frac{t^2}{2R^2} \right)$$

$$h = \frac{ t^2}{2 R} = \frac{ t^2 \sqrt{ K} }{ 2 } = \frac{ t^2 \sqrt{r_s} }{ 2 \sqrt{2} r^{3/2} }$$

Jetzt können wir die bekannten Mengen belasten. Hier werde ich die übliche Definition von Dehnung verwenden,$\epsilon$.

$$\frac{C'}{C} = \left( \frac{ t \sqrt{r_s} }{ 2 \sqrt{2} r^{3/2} } \right)^2 \frac{1}{4} + 1 = \epsilon + 1$$

$$\epsilon = \left( \frac{ t^2 r_s }{ 8 \times 4 r^{3} } \right) = \frac{1}{16} \frac{ t^2 r_s }{ 2 r^{3} }$$

Das ist also ein Teil der Antwort. Soweit es uns wichtig ist, haben alle Materialien eine Streckgrenze und diese Grenze ist mit Spannungen und Dehnungen verbunden. In der Praxis können Sie die Streckgrenze nachschlagen und die Streckgrenze mithilfe des Elastizitätsmoduls ermitteln. Wenn Sie dies tun, werden Sie feststellen, dass viele Materialien eine Streckgrenze in der Größenordnung von 1 % haben, beispielsweise für Knochen. Keramik liegt darunter, aber nicht um mehr als etwa 1 Größenordnung. Jetzt vergleichen wir, indem wir eine einfache Newtonsche Berechnung der spezifischen Stärke durchführen (bezeichnet$ss$) von Gezeitenkräften.

$$\text{field} = F = \frac{G M }{r^2} = \frac{r_s c^2 }{ 2 r^2}$$ $$\text{tidal} = T = \frac{ r_s c^2 }{ r^3 }$$

Stellen wir uns nun ein konstantes Gezeitenfeld und ein Material an diesem Ort im Raum vor. Wir behandeln ihn vorerst als linearen Balken, der sich in Richtung wachsender Gezeitenkräfte ausdehnt. Wenn das Zentrum an ist$t=0$dann ist das Gezeitenfeld$t T$. Integrieren Sie dieses Feld, um die Gravitationspotentialdifferenz zu finden,$1/2 t^2 T$, das ist die Grenze, die die spezifische Stärke quantifiziert.

$$ss = 1/2 t^2 \frac{ r_s c^2 }{ r^3 } = \frac{ t^2 r_s }{ 2 r^3 } c^2$$

Spezifische Stärke hat auch Geschwindigkeitseinheiten im Quadrat. Für Knochen rechne ich ca$130,000 m^2/s^2$. Jetzt können wir die ultimativen Kriterien formulieren, um nicht zu brechen. Wie sich herausstellt, scheint der „Gewinner“ zwischen Belastung und Belastung unspezifisch für die Bedingungen zu sein. Das ist etwas überraschend, da wir 3 Freiheitsgrade hatten, die Dimension des Objekts, die Entfernung vom Schwarzen Loch und die Masse des Schwarzen Lochs. Dies sind die Kriterien, um einen Bruch zu verhindern.

$$\frac{ss}{c^2} > \frac{ t^2 r_s }{ 2 r^3 }$$

$$16 \epsilon > \frac{ t^2 r_s }{ 2 r^{3} }$$

$$\frac{ss}{c^2} = 1.45 \times 10^{-12}$$

$$\epsilon = 0.16$$

Wir sehen hier, dass die Anforderung an die Gezeitenkraft viel restriktiver ist . Tatsächlich ist es so viel restriktiver, dass im Grunde kein denkbarer Wert des Elastizitätsmoduls das Gleichgewicht ändern würde.