Wie erkennt man, ob eine Metrik gekrümmt ist?

Ich las die Kerr-Metrik (aus Sean Carrolls Buch) und etwas, das er sagte, verwirrte mich.

Zunächst einmal ist die Kerr-Metrik ziemlich chaotisch, aber vor allem enthält sie zwei Konstanten - M und a . M wird als Masse identifiziert, und a wird als Drehimpuls pro Masseneinheit identifiziert. Er sagt, dass sich diese Metrik im Grenzbereich auf flachen Raum reduziert M → 0 , und ist gegeben durch

d s 2 = − d t 2 + r 2 + a 2 cos 2 ⁡ θ r 2 + a 2 d r 2 + ( r 2 + a 2 cos 2 ⁡ θ ) d θ 2 + ( r 2 + a 2 ) Sünde 2 ⁡ θ d ϕ 2

und r , θ und ϕ sind regelmäßige sphärische Polarkoordinaten.

Aber ich verstehe nicht, warum dieser Raum offensichtlich flach ist. Die Schwarzschild-Metrik enthält auch Terme mit d t 2 , d r 2 , d θ 2 und d ϕ 2 ist aber gebogen. Ich dachte immer, dass eine Metrik mit nicht diagonalen Elementen einen gekrümmten Raum impliziert, aber ich habe mich eindeutig sehr geirrt.

Frage: Wie können Sie anhand ihrer Komponenten feststellen, ob eine Metrik gekrümmt ist oder nicht?

Antworten (4)

Sie sagen, ob ein Raum (oder eine Raumzeit) gekrümmt ist oder nicht, indem Sie seinen Krümmungstensor berechnen . Oder eindeutiger einer der Krümmungsskalare (z. B. Ricci , oder Kretschmann ), da diese nicht vom Koordinatensystem abhängen, aber alle Informationen der Skalare auch im Riemann-Tensor enthalten sind.

Es ist nicht unbedingt offensichtlich, ob eine bestimmte Metrik gekrümmt oder flach ist. Sie können eine perfekt flache Raumzeit nehmen und sie in einem bizarren Koordinatensystem ausdrücken, in dem die Metrik nicht konstante Terme außerhalb der Diagonale hat. Es ist eine einfache Übung, den flachen Raum zu nehmen und die Tensortransformationsgesetze für die Metrik zu verwenden, mit einer willkürlichen, seltsamen Koordinatentransformation, die Sie gerade erfunden haben. Sie werden sehen, was ich meine.

Sind es Krümmungsskalare, weil die Berechnung der Tensoren schwieriger ist? Ich dachte, die Bedingung, dass R = 0 entsprach einer quellenlosen Metrik? Oder ist das auch falsch?
Es ist nur so, dass die Werte der Skalare koordinatenunabhängig sind. Es ist möglich, dass die Krümmungsskalare verschwinden, aber der volle Krümmungstensor verschwindet nicht. Ein Beispiel für letztere Situation ist die Schwarschild-Lösung in GR. Sie haben Recht, R = 0 entspricht quellenfreien Lösungen in GR, die nicht flach sein müssen. Es ist der volle Krümmungstensor, der Ihnen sagt, ob ein Raum flach ist oder nicht, und tatsächlich ist der Krümmungstensor für die Schwarschild-Raumzeit ungleich Null. Aber R ≠ 0 impliziert Krümmung eindeutig.
Eigentlich nur daran erinnert, R = 0 in GR entspricht jeder Quelle mit ρ − 3 p = 0 (aus der Spur von T μ v ). Die allgemeine quellenfreie Situation ist R μ v = 0 , was natürlich impliziert R = 0 auch.

Die flache Raumzeit bezieht sich hier auf die Raumzeit von Minkowski, geschrieben mit den Kugelkoordinaten (ich denke, eines Ihrer Vorzeichen ist in Ihrer Gleichung falsch)

d s 2 = − d t 2 + d r 2 + r 2 d θ 2 + r 2 s ich n 2 θ d ϕ 2 .
wobei die Metrik diagonal ist und konstante Koeffizienten hat g μ v = ( − 1 , 1 , 1 , 1 ) . Ich würde sagen, dass sich die Bedingungen für eine flache Raumzeit, nur hinsichtlich ihrer Metrik, auf ihre Diagonalform und Konstante (zumindest Konstante) beziehen.

das ist nicht richtig. Sie können Transformationen der Koordinaten finden t , x , j , z wo die Metrik nichtdiagonal wird - aber sie beschreibt immer noch denselben Minkowskischen Raum. Da die Einträge konstant sind - das von Ihnen angegebene Beispiel enthält bereits Koeffizienten, die je nach Koordinaten variieren!

In der Grenze wo M → 0 reduziert sich die Kerr-Metrik auf die sphärische Koordinatenform der Minkowski-Metrik. In diesem Sinne erkennen wir es und sagen, es ist „offensichtlich“, dass es flach ist. (Die Schwarzschild-Metrik ist auch im Limit flach M → 0 .)

Aber um zu zeigen, ob eine gegebene Metrik gekrümmt ist oder nicht, müssen wir eine Krümmungsinvariante berechnen. Zum Beispiel berechnen wir normalerweise die Ricci-Krümmung R = R ich ich = R k ich k ich wo die erste R ist die Ricci-Krümmung, die zweite R der Ricci-Krümmungstensor und der dritte R der Riemann-Tensor. Wenn es 0 der Raum ist gekrümmt, sonst nicht. Carroll hat es in seinem Buch.

Das ist nicht ganz richtig - wenn der Riemann-Krümmungstensor identisch Null ist, dann ist die Metrik flach. Aber es kann gekrümmt sein und immer noch Kontraktionen haben R μ v = 0 oder R = 0 . R μ v = 0 sagt Ihnen nur, dass es an diesem Punkt in der Raumzeit keine Stressenergie gibt, aber es könnte immer noch eine starke Krümmung geben (zum Beispiel hat die Schwarzschild-Metrik R μ v = 0 überall außer der Singularität) und R = 0 sagt Ihnen nur, dass der Spannungs-Energie-Tensor an diesem Punkt spurlos ist (dies gilt beispielsweise für jede Raumzeit, die mit einer strahlungsdominierten Flüssigkeit gefüllt ist).

Carroll weist darauf hin, dass nach der Grenze (a = fest, M-> 0) "wir den räumlichen Teil davon als flachen Raum in ellipsoidischen Koordinaten erkennen". Um also zu erkennen, dass es sich um einen flachen Raum handelt, sollten Sie dies tun den Aspekt einer flachen Metrik in ellipsoidischen Koordinaten kennen, touche.

Wie erkennt man, ob eine Metrik gekrümmt ist?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v