Unterschiedliche Signaturen

Wenn Sie sich an eine Konvention von vielen anderen Konventionen halten, sollten Sie unabhängig von der Signatur der Metrik dieselben Ergebnisse erzielen. Hier folge ich den Konventionen von Carroll: http://amzn.com/0805387323 oder http://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019 .

Für das Christoffel-Symbol haben wir

$$\begin{equation} \Gamma^\lambda_{\mu\nu}=\frac{1}{2}g^{\lambda\rho}(\partial_\mu g_{\nu\rho}+\partial_\nu g_{\rho\mu}-\partial_\rho g_{\mu\nu})\,. \end{equation}$$ Wenn Sie also die Signatur der Metrik ändern $g_{\mu\nu}\to -g_{\mu\nu}$, haben Sie das gleiche Christoffel-Symbol. Als gleiches Argument dient die Definition der Ricci-Krümmung $$R_{\mu\nu}=R^\lambda_{\phantom{a}\mu\lambda\nu}$$ wobei die Riemann-Krümmung nur vom Christoffel-Symbol und seiner Ableitung abhängt. Daher haben wir dieselbe Ricci-Krümmung, auch wenn wir die Signatur der Metrik ändern.

Die Signatur ist eine Konvention (sowohl in der speziellen Relativitätstheorie als auch in der allgemeinen Relativitätstheorie).

Aber in der Allgemeinen Relativitätstheorie gibt es neben der Signatur noch viele andere Konventionen. Die vordere Umschlaginnenseite von Misner Thorne und Wheeler listet Konventionen für die Signatur, für den Riemann-Tensor, für den Einstein-Tensor und für die Verwendung griechischer und lateinischer Indizes auf und listet 34 Texte auf und welche Konventionen sie verwenden. Und dann buchstabiert auf der gegenüberliegenden Seite, wohin die Zeichen gehen.

Es ist also nur eine andere Konvention und der Ricci-Tensor erbt die Konvention vom Riemann-Tensor, hängt aber leider auch von einer Konvention für den Einstein-Tensor ab. Selbst wenn Sie also die Konvention für einen dieser Tensoren kennen, kennen Sie immer noch nicht das Vorzeichen des Ricci-Tensors.

Sie müssen also sowohl die Konvention für den Einstein-Tensor als auch die Konvention für den Riemann-Tensor beachten.

Und die Einstein-Gleichung selbst kann je nach Konvention für den Einstein-Tensor anders aussehen.

Schließlich wurde dieses Buch in den 1970er Jahren veröffentlicht, also haben neuere Bücher vielleicht beschlossen, noch mehr Konventionen zu brechen. Ich kann nicht sagen, dass ich wirklich jedes neue Buch gelesen habe.