Irgendwelche Tipps zur Auswertung des Riemann-Tensors?

Es gibt einen relativ schnellen Ansatz zur Berechnung des Riemann-Tensors, des Ricci-Tensors und des Ricci-Skalars bei einem metrischen Tensor, der als Cartan-Methode oder Methode zum Verschieben von Rahmen bekannt ist . Gegeben ein Linienelement,

$$ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$$

Sie wählen eine orthonormale Basis$e^a = e^a_\mu dx^\mu$so dass$ds^2 = \eta_{ab}e^a e^b$. Die erste Cartan-Strukturgleichung,

$$de^a + \omega^a_b \wedge e^b = 0$$

ermöglicht es, nach den Spin-Verbindungskomponenten zu lösen$\omega^a_b$woraus man den Ricci-Tensor in der Orthonormalbasis berechnen kann:

$$R^a_b = d\omega^a_b + \omega^a_c \wedge \omega^c_b.$$

Der gesamte Vorgang erfordert lediglich eine äußere Differenzierung der Basis- und Spinverbindung. Die Riemann-Komponenten können aus der Beziehung abgeleitet werden,

$$R^a_b = R^a_{bcd} \, e^c \wedge e^d$$

möglicherweise mit einem Faktor von$\frac12$abhängig von Ihren Konventionen. Um zurück in die Koordinatenbasis umzuwandeln, muss man einfach mit der Basis zurück kontrahieren:

$$R^\mu_{\nu \lambda \kappa} = (e^{-1})^\mu_a \, R^a_{bcd}\, e^b_\nu \, e^c_\lambda \, e^d_\kappa.$$

Für eine explizite Berechnung siehe meine vorherigen Antworten hier , hier und hier . Auch die Gravitationsphysik-Vorlesungen auf pirsa.org liefern anschauliche Beispiele. Was die Verwendung von Computeralgebrasystemen betrifft, so ist Hartle's Lehrbuch für Mathematica Ihre beste Option oder das GREAT-Paket , wenn Sie nur Krümmungstensoren berechnen möchten . Wenn Sie fortgeschrittenere Sachen wie Störungstheorie machen möchten, dann ist xAct erforderlich.

Dies ist eine alte Frage, aber ich denke, sie ist immer noch eine Antwort wert. Wenn Sie keine orthonormalen Frames verwenden möchten, gibt es immer noch Methoden, mit denen Sie Daten in einfach zu handhabenden Formen organisieren können, die diese Berechnungen vereinfachen.

Notieren Sie sich das zunächst$R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}=\partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}-\partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma}+\Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}-\Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}$, die in mehrere Matrixgleichungen organisiert werden kann, wenn wir definieren$\Gamma_\mu$die Matrix sein, deren$(\rho,\sigma)$-tes Element ist$\Gamma^\rho_{\mu\sigma}$. Dann gibt es 6 unabhängige "Riemann-Matrizen",$\mathbf{R}_{\mu\nu}$($\mu,\nu$schiefsymmetrisch) für die

$$\mathbf{R}_{\mu\nu}=\partial_\mu\Gamma_\nu-\partial_\nu\Gamma_\mu+[\Gamma_\mu,\Gamma_\nu].$$ Dies erfordert möglicherweise mehr Berechnungen, als einfach die 20 unabhängigen Komponenten zu isolieren und sie brutal zu forcieren, aber die Verwendung von Matrizen ermöglicht eine sehr klare Übersicht und Organisation dieser Komponenten.

Eine Variation dieses Themas besteht darin, das gleiche Verfahren zu verwenden, das beim orthonormalen Rahmenansatz verwendet wird, wobei die zweite Strukturgleichung weiterhin gültig ist. Wir können den Riemann-Tensor als Matrix von 2-Formen berechnen, wenn wir definieren$\Gamma^\mu_\nu=\Gamma^\mu_{\sigma\nu}dx^\sigma$, Dann

$$R^\mu_{\ \nu}=\frac{1}{2}R^\mu_{\ \nu\rho\sigma}dx^\rho\wedge dx^\sigma=d\Gamma^\mu_\nu+\Gamma^\mu_\lambda\wedge\Gamma^\lambda_\nu.$$

Wir können die Symmetrien des Riemann-Tensors hier nicht direkt ausnutzen, es sei denn$\mu$gesenkt wird, aber für eine diagonale Metrik, die$\mu$kann sehr leicht erniedrigt werden, dann sind daraus nur noch 6 2er-Formen zu berechnen.

Die kurze Antwort ist, dass die Berechnung des Riemann-Tensors ein Kinderspiel ist. Es wird eine Weile dauern, egal wie Sie es tun.

Vermutlich machen Sie die Schwarzschild-Metrik in den Standardkoordinaten (Schwarzschild), also hilft Ihnen die Tatsache, dass der metrische Tensor diagonal ist. Das bedeutet, dass$R^\alpha_{\beta \gamma \delta} = g^{\alpha \alpha}R_{\alpha \beta \gamma \delta}$, keine Summe an$\alpha$. Das ist bequem, da der Rang$(0,4)$Form des Riemann-Tensors ist, wo alle Symmetrien liegen, aber die$(1,3)$form ist das, wofür wir eine bequeme Formel haben. Alles, was übrig bleibt, ist, die Symmetrien zu verwenden, die Sie kennen, Ihre 20 Komponenten auszuwählen und sie von Hand zu berechnen. Berechnen Sie vorher die Nicht-Null-Einträge von$\partial_\alpha \Gamma^\beta_{\gamma \delta}$Und$\Gamma^\alpha_{\beta \epsilon} \Gamma^\epsilon_{\gamma \delta}$.

Viel Glück!

Obwohl ich algebraische Übungen wie diese ausdrücklich ermutige, spricht auch etwas dafür, die Antwort schnell zu bekommen. Wenn Sie Zugriff haben, lohnt es sich, Ihr eigenes Maple- oder Mathematica-Skript zu schreiben, um dies für Sie für eine beliebige Metrik zu tun. Sie können auch SymPy verwenden, es ist kostenlos, aber etwas weniger leistungsfähig, als ich es zuletzt überprüft habe.

Vielleicht ist es nützlich, ein paar Pakete aufzulisten, die Ihnen bei der Auswertung des Riemann-Tensors helfen:

RGTC Easy (Mathematica)

GRTensorII Easy (Maple und eingeschränkte Version für Mathematica)

xAct Hard (Mathamatica)

Wenn Sie eine schnelle Berechnung wünschen, würde ich empfehlen, RGTC für Mathamtica und GRTensorII für Maple zu verwenden.

Wenn Sie einige spezielle Funktionen wünschen (Manipulation großer Gruppen von Permutationen, abstrakte Tensorberechnungen, das Flaggschiff des Systems, Störungstheorie höherer Ordnung in GR, ...), verwenden Sie die xAct-Suite.

Ich finde, dass die manuelle Berechnung des Riemann-Tensors nicht besonders aufschlussreich ist, aber wenn Sie es wirklich wollen, warum fragen Sie dann nach Hilfe von uns und nicht von einem Buch? Es ist sehr wahrscheinlich, dass jeder Ratschlag, den wir Ihnen geben, sowieso aus einem Buch stammt.

Das leistungsfähigste Tensor-Manipulationspaket für Mathematik ist jedoch xAct. Es erfordert einige solide Kenntnisse in Differentialgeometrie, die Sie möglicherweise noch nicht haben. Ich bin der Entwickler von xPrint, einer GUI für xAct, die die Eingabe von Tensoren beschleunigt und für Anfänger hilfreich sein kann. Ich würde Ihnen raten, zuerst einige Zeit damit zu verbringen, Differentialgeometrie und grundlegende Mathematica-Befehle zu lernen.

Relevante Links finden Sie in meiner Antwort auf eine ähnliche Frage auf Mathematica.SE