Zeitunabhängige Kerr-Metrik

Die Kerr-Metrik, ausgedrückt in Polarkoordinaten$r,\theta,\phi$, so dass$x = r\sin(\theta)\cos(\phi)$,$y = r\sin(\theta)\sin(\phi)$,$z = r\cos(\theta)$. Dann ist die Kerr-Metrik gegeben als

$$\begin{align*} ds^2 = &-\left(1 - \frac{2GMr}{r^2+a^2\cos^2(\theta)}\right) dt^2 + \left(\frac{r^2+a^2\cos^2(\theta)}{r^2-2GMr+a^2}\right) dr^2 + \left(r^2+a^2\cos(\theta)\right) d\theta^2\\ &+ \left(r^2+a^2+\frac{2GMra^2}{r^2+a^2\cos^2(\theta)}\right)\sin^2(\theta) d\phi^2 - \left(\frac{4GMra\sin^2(\theta)}{r^2+a^2\cos^2(\theta)}\right) d\phi\, dt \end{align*}$$ Wo $a \equiv S/M$ist der Drehimpuls des Objekts pro Masseneinheit und $G$ist die Gravitationskonstante. Dies ist eine exakte Lösung für die Leerraum-Einstein-Gleichung.

Sagen wir, wenn wir die Metrik für eine konstante Zeit betrachten sollen,$t_0$. Ist es dann möglich, die Kerr-Metrik auf einer Untermannigfaltigkeit der Raumzeit zu definieren, sagen wir nur im Raum? Wenn ja, wie kann ich dies erreichen? Ist es so einfach wie das Löschen der zeitabhängigen Terme, dh

$$\begin{align*} ds^2 = & \left(\frac{r^2+a^2\cos^2(\theta)}{r^2-2GMr+a^2}\right) dr^2 + \left(r^2+a^2\cos(\theta)\right) d\theta^2\\ &+ \left(r^2+a^2+\frac{2GMra^2}{r^2+a^2\cos^2(\theta)}\right)\sin^2(\theta) d\phi^2 \end{align*}$$ oder muss ich die induzierte Metrik verwenden , um die Metrik auf der Untermannigfaltigkeit zu beschreiben?

Bearbeiten: Ich habe die geodätischen Differentialgleichungen mit einer "zeitunabhängigen" Kerr-Metrik mit a = 0(dh dies reduziert die Kerr-Metrik auf die Schwarzschild-Metrik) und dem Schwarzschild-Radius gelöst, um die anderen Parameter zu definieren:

Die meisten Plots, die ich bekam, drehten sich um eine Singularität am Origo.

Hier ist ein Grundstück, wo ich setze$\phi$zu einer Konstanten wird die z-Achse zur "Zeit":

Update: Ich habe die folgende Abbildung gefunden, die meine erste Abbildung zu bestätigen scheint.

Strategien zur direkten Visualisierung von Tensorfeldern zweiter Ordnung von Werner Benger und Hans-Christian Hege