Gravitations-Rotverschiebung in der Kerr-Raumzeit

Question

Gravitations-Rotverschiebung in der Kerr-Raumzeit

MNRaia

Nun, nehmen wir an, schwarze Schwarschild-Löcher. Im Anschluss an die $[1]$ , haben wir den Rotverschiebungsfaktor :

\begin{matrix} (1) & D τ = \sqrt{1 - \frac{2 M}{R}} D T . \end{matrix}

$d\tau = \sqrt{1-\frac{2M}{r}}dt. \tag{1}$

Dieser Faktor hat eine physikalische Interpretation als die Zeit, die ein bestimmter Beobachter auf seiner eigenen Uhr misst, dh für einen stationären Beobachter bezieht sich die Eigenzeit auf die Zeit, wie sie von einem entfernten Beobachter via gemessen wird $(1)$

Umgekehrt, wenn wir die nehmen $r= cte$ , $\theta = cte$ Und $\phi = cte$ dann reduziert sich die Metrik auf:

\begin{matrix} (2) & D τ^{2} = G_{00} D T^{2} \end{matrix}

$d\tau ^{2} = g_{00}dt ^{2} \tag{2}$

Das ist die gravitative Rotverschiebung.

Diese Erkenntnis scheint nun für jede Metrik zu gelten. Ich meine, nehmen Sie die Kerr-Metrik (die ein Beispiel für einen nicht diagonalen Tensor ist), wenn wir dasselbe angeben (jetzt natürlich Boyer-Lindquist-Koordinaten). $r= cte$ , $\theta = cte$ Und $\phi = cte$ wir bekommen:

\begin{matrix} (3) & D τ = \sqrt{(1 - \frac{2 M R}{R^{2} + A^{2} C Ö S^{2} θ})} D T \end{matrix}

$d\tau = \sqrt{\Bigg(1-\frac{2Mr}{r^{2}+a^{2}cos^{2}\theta}\Bigg)}\hspace{3mm} dt \tag{3}$

Mein Zweifel ist:

Können wir sagen, dass der obige Faktor unter Verwendung der Kerr-Metrik eine physikalische Interpretation als die Zeit hat, die ein bestimmter Beobachter auf seiner eigenen Uhr misst, dh für einen stationären Beobachter bezieht sich die Eigenzeit auf die Zeit, die von einem entfernten Beobachter über gemessen wird $(3)$ ?

* * *

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$[1]$ Relativitätstheorie entmystifiziert

Antworten (2)

Gravitations-Rotverschiebung in der Kerr-Raumzeit

G. Smith · Answer 1

Ja, das ist richtig für einen Beobachter, der in Boyer-Lindquist-Koordinaten ruht. Die gleiche Argumentation gilt für alle Metriken. Aber es ist nicht so interessant, weil sich Beobachter im Allgemeinen eher bewegen (z. B. umkreisen).

Yukterez · Answer 2

Für einen ZAMO schon

\frac{D T}{D τ} = \sqrt{G^{T T}}

$\frac{{\rm d} t}{{\rm d} \tau} = \sqrt{g^{t t}}$

für ein Objekt, das sich mit lokaler Geschwindigkeit bewegt $v$ relativ zum ZAMO ist es

\frac{D T}{D \bar{τ}} = \frac{\sqrt{G^{T T}}}{\sqrt{1 - v^{2} / C^{2}}}

$\frac{{\rm d} t}{{\rm d} \bar\tau} = \frac{\sqrt{g^{t t}}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

und für einen Beobachter, der in Bezug auf die Fixsterne stationär ist, ist es

\frac{D T}{D \tilde{τ}} = \frac{1}{\sqrt{G_{T T}}} = \frac{\sqrt{G^{T T}}}{\sqrt{1 - {\tilde{v}}^{2} / C^{2}}}

$\frac{{\rm d} t}{{\rm d} \tilde\tau} = \frac{1}{\sqrt{g_{t t}}} = \frac{\sqrt{g^{t t}}}{\sqrt{1-\tilde v^2/c^2}}$

Wo $\tilde v$ ist die lokale Rahmenziehgeschwindigkeit relativ zu den Fixsternen

\tilde{v} = C \sqrt{G_{T ϕ} G^{T ϕ}} = C \sqrt{1 - G_{T T} G^{T T}}

$\tilde v = c \sqrt{g_{t \phi} \ g^{t \phi}} = c \sqrt{1 - g_{t t} \ g^{t t}}$

Danke. Aber das entkräftet meine Analyse nicht, oder? (Außerdem ist Ihre Arbeit an Kerr-Raumzeitsimulationen ziemlich cool)
Nein, es macht es nicht ungültig, ich wollte es nur erweitern. Denken Sie nur daran, dass das Gravitationsverhältnis absolut ist, während die kinematische Komponente symmetrisch ist. Wenn Sie also die Zeitdilatation eines weit entfernten Beobachters im Rahmen des umlaufenden Teilchens wissen möchten, anstatt umgekehrt, müssen Sie durch den Gammafaktor dividieren γ=√(1-v²/c²)⁻¹ anstatt damit zu multiplizieren.
Wenn ich diese Größen für eine andere rotierende Metrik (ein Nicht-Kerr-Schwarzes Loch, aber immer noch ein axialsymmetrischer Tensor) reproduziere (dh die gleichen Berechnungen wie Sie durchführe; zum Beispiel den ZAMO), werde ich zu ähnlichen Interpretationen gelangen?
Ja, aber wenn Sie zum Beispiel Regentropfenkoordinaten (Doran) verwenden, dann die $\sqrt{g^{tt}}$ gibt Ihnen die Zeitdilatation relativ zu einem radial einfallenden und mitrotierenden Testteilchen, während es bei Boyer Lindquist ein mitrotierendes und radial stationäres ist, es hängt immer von der lokalen Referenz Ihrer gewählten Koordinaten ab. Wenn Sie die Zeitdilatation eines radial stationären ZAMO beschreiben wollen, aber mit Doran-Koordinaten, müssen Sie die Radialgeschwindigkeit Ihres ZAMO relativ zum einfallenden Bezugssystem berücksichtigen.

Gravitations-Rotverschiebung in der Kerr-Raumzeit

MNRaia

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G. Smith

Yukterez

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