Geschlossene zeitähnliche Kurven in der Kerr-Metrik

Lassen Sie mich die Metrik in der Äquatorebene aufschreiben ($\vartheta = \pi/2$) der Kerr-Raumzeit in Boyer-Lindquist-Koordinaten:

$$d s^2 = -\left(1 - \frac{2M r}{r^2 + a^2}\right) d t^2 + \frac{r^2+a^2}{r^2 - 2Mr + a^2} d r^2 + \left(r^2 + a^2 + \frac{2M r a^2 }{r^2 + a^2}\right) d \varphi^2 - \frac{2 M r a}{r^2 + a^2} dt d \varphi$$ Jetzt müssen Sie mir vertrauen, dass das Durchlaufen der Ring-Singularität an$r=0$(erinnere dich daran$r,\vartheta$sind in der Tat abgeflachte ellipsoidische Koordinaten und$r=0$ist eine Festplatte) bedeutet gehen zu$r$Negativ. Jetzt würde ich gerne wissen ob es eine gibt$r$so dass der Vektor$\eta^\mu = \delta^\mu_\varphi$ist zeitähnlich. Ich finde, dass $$\eta^\mu \eta_\mu = g_{\varphi \varphi} = r^2 + a^2 + \frac{2M r a^2 }{r^2 + a^2}$$ was in einem bestimmten Bereich negativ ist$r$(Der Bereich hat einen geschlossenen und umständlichen Ausdruck, der zwei Wurzeln einer quartischen Gleichung entspricht). Da die Integralkurven von$\eta^\mu$geschlossen sind, in diesem Bereich von$r$, gibt es geschlossene zeitartige Kurven. Wenn Sie den Äquator verlassen und Regionen einzeichnen, in denen$g_{\varphi\varphi}$negativ ist, finden Sie in dieser Region einen endlichen "Donut" in der Nähe der Ringsingularität$r<0$Teil der Kerr-Raumzeit.

Das Problem ist jedoch, dass Sie, wenn Sie mit Ihrer zeitähnlichen Kurve in diesem Donut beginnen, es auch verlassen können, durch die Singularität zurück zu gehen$r>0$, und den ganzen Weg bis zum inneren Horizont des Kerr-Schwarzen Lochs. Dann kehrst du zurück zum$g_{\varphi\varphi}<0$Donut, und Sie dürfen einkreisen$\varphi$auf unbestimmte Zeit mit einem kleinen negativen Eindriften$t$, und schließen schließlich Ihre zeitähnliche Kurve (begegnen Sie sich selbst aus Ihrer eigenen Vergangenheit). So werden geschlossene zeitähnliche Kurven durch die Existenz des "kausalen Donuts" bis hin zum inneren Horizont des Kerr-Schwarzen Lochs impliziert. Dies ist auch einer der Gründe, warum man die Region innerhalb des inneren Horizonts oft als unphysisch verwirft.

Siehe Abschnitt 3.19 von Schwarze Löcher: Eine Einführung von Derek J. Raine, Edwin George Thomas

https://books.google.ca/books?id=O3puAMw5U3UC&pg=PA103&lpg=PA103&dq=kerr+schild+closed+timelike&source=bl&ots=elnzJu2ySm&sig=B4cWXIkib4fqbs0D7yA2YlZKE8A&hl=en&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=kerr%20dschild 20timelike&f=false

Dieses Buch enthält ein Beispiel: Boyer Lindquist-Koordinaten: Nehmen Sie eine Umlaufbahn, bei der sich nur Phi ändert, dann ist die Eigenzeit auf dieser Umlaufbahn gegeben durch (eine Formel im Buch), dann setzen wir r = direkt innerhalb der Ringsingularität, und man erhält ein zeitartiger dt > 0 Pfad, der periodisch ist.