Einfachstes mathematisches Modell einer Kausalschleife

Es gibt vier einfache Modelle, um geschlossene zeitähnliche Kurven zu erzeugen:

1. Der zeitähnliche Zylinder/Torus (Minkowski-Raum, wo$t = 0$und$t = T$identifiziert werden, sowie möglicherweise räumliche Dimensionen)
2. Misner-Raum (Minkowski-Raum, identifiziert entlang eines Boosts)
3. Die Deutsch-Politzer-Raumzeit (zwei raumähnliche Schnitte im Minkowski-Raum identifiziert)
4. Dünnschalige Wurmlöcher (in der Minkowski-Raumzeit identifizierte Kugeln mit einer Zeitverschiebung dazwischen).

Diese haben alle den Vorteil, flacher Raum zu sein (mit Ausnahme von Wurmlöchern, wo die Hülle selbst eine Massenverteilung hat), so dass alles wie in flacher Raumzeit durchgeführt werden kann.

Die einfachsten Formen von Materie, um kausale Schleifen zu untersuchen, sind freie Punktteilchen, in diesem Fall müssen Sie sich nur um Geodäten in diesen Räumen kümmern. Da dies nur ein Minkowski-Raum ist, ist dies im Grunde nur das Studium von geraden Linien darauf. Damit lassen sich bereits interessante Ergebnisse finden, wie zum Beispiel für den Minkowski-Torus$S \times S$. Wenn Sie den Ausweis haben

Pro$n,m \in \mathbb{Z}$, mit$T$der Zeitraum u$L$dem Umfang des Raumschnitts, betrachten Sie die Lösung der geodätischen Gleichung ab$(0,0)$, und durch die Koordinatenzeit parametrisiert, um die Dinge zu vereinfachen.

mit$u^\mu = (1, v)$. Sie müssen die Bedingung zusätzlich erfüllen$(T, v T) = (0, v T)$.

Das bedeutet, dass jederzeit (insbesondere aber um$t = 0$), wird die Kurve die raumartige Hyperfläche an mehreren Punkten kreuzen, dh bei$x = nvT$Pro$n \in \mathbb{Z}$. Da aber die raumartige Hyperfläche selbst periodisch ist, bedeutet dies, dass der Schnittpunkt bei$t = 0$wird tatsächlich bei sein$x = nvT \mod L$.

Wenn$vT/L \in \mathbb{Q}$, das ist in Ordnung. Wenn$vT/L = p/q$, dann danach$n = q$Zyklen, verbindet sich die Kurve wieder mit sich selbst (seit$x = nvT \mod L= pL \mod L = 0$). Aber ansonsten wird sich die Kurve nie wieder mit sich selbst verbinden, und das Teilchen wird auf der Mannigfaltigkeit dicht sein (es wird an jedem Punkt erscheinen). Dies ist im Grunde das Problem der irrationalen Geodäten auf einem Torus mit einer Raumzeit.

Die gleiche Argumentation kann für Skalarfelder ohne allzu große Probleme durchgeführt werden. Für interagierende Felder jedoch, wo das Problem interessanter wird, gibt es kein "richtiges" physikalisches System, das gemacht werden kann. Selbst die einfachsten nichtlinearen Systeme (wie das Sine-Gordon-Modell oder auch nur geladene Punktteilchen) wurden für solche Raumzeiten nicht entwickelt. Hier sind einige Beispiele für Ideen, die auf verschiedenen Strengegraden ausprobiert wurden (Triggerwarnung: Viele von ihnen beinhalten Waffen) :

Die früheste ist möglicherweise die Arbeit von Feynman und Wheeler aus dem Jahr 1949 . Obwohl es nicht wirklich um geschlossene zeitähnliche Kurven geht (es geht um fortgeschrittene Wellen), ist das Prinzip ziemlich ähnlich und wurde von anderen Autoren für geschlossene zeitähnliche Kurven verwendet:

Um das Paradoxon akzeptabel zu formulieren, müssen wir menschliche Eingriffe eliminieren. Wir führen daher einen Mechanismus ein, der Gebühren spart$a$von einem Schlag um 18 Uhr nur dann, wenn dieses Teilchen um 8 Uhr morgens die erwartete Bewegung ausführt (Abb. 1). Unser Dilemma ist jetzt folgendes: Ist$a$abends getroffen oder nicht. Wenn ja, dann hat es um 8 Uhr morgens eine Vorwarnung erlitten, die den Schlag abbrach, also$a$wird nicht um 18 Uhr geschlagen! Wenn um 18 Uhr nicht gestoßen wird, gibt es keine Morgenbewegung, um den Schlag zu unterbrechen, und so am Abend$a$ist geschockt!

Abb. 1. Das Paradoxon fortgeschrittener Effekte. Trifft das Pellet$X$um 6 Uhr abends? Wenn ja, das erweiterte Feld aus$A$setzt$B$in Bewegung um 13 Uhr, und$B$bewegt$A$um 8 Uhr. Dabei der Verschluss$TS$in Bewegung gesetzt und der Weg des Pellets blockiert, so dass es nicht aufschlagen kann$X$um 18 Uhr, wenn es nicht schlägt$X$um 18:00 Uhr, dann wird ihr Weg um 17:59 Uhr über diese Aktionskette nicht versperrt, also müsste die Kugel einschlagen$X$

Um das Problem zu lösen, teilen wir das Problem in zwei Teile: Wirkung der Vergangenheit von$a$auf seine Zukunft und von der Zukunft auf die Vergangenheit. Die beiden entsprechenden Kurven in Fig. 2 kreuzen sich nicht. Wir haben keine Lösung, weil angenommen wurde, dass die Wirkung des Verschlusses auf das Pellet, der Zukunft auf die Vergangenheit, diskontinuierlich ist.

Abb. 2. Analyse und Auflösung des Paradoxons fortgeschrittener Effekte. Die Wirkung des Verschlusses auf das Pellet – die Wechselwirkung von Vergangenheit und Zukunft – ist kontinuierlich (gestrichelte Linie im Diagramm) und die Kurven von Wirkung und Reaktion kreuzen sich. Siehe Text für physikalische Beschreibung der Lösung.

Dies wurde einige Male mit einigen Varianten verwendet, wie z. B. Clarkes Zeit in der allgemeinen Relativitätstheorie :

Um zu sehen, wie das so ist, betrachten Sie den bereits zitierten Fall einer Person, die ihrem früheren Ich unter Umständen begegnet, unter denen sie ihn erschießen könnte, wenn die Physik normal wäre. Ersetzen wir dann als Vorstufe der Analyse den komplexen Menschen durch einen einfachen Automaten, der dennoch die erwähnte abnorme Physik aufweist. Diese Vorrichtung muss aus einem Geschütz, einem Ziel und einem Verschluss bestehen, der so angeordnet ist, dass der Aufprall einer Kugel auf das Ziel den Verschluss auslöst, so dass er sich vor dem Geschütz bewegt. Es verfolgt eine die Kausalität verletzende Kurve in der Raumzeit derart, dass zwei Punkte auf der Weltlinie des Objekts liegen$A$und$B$, mit$B$später in der Geschichte des Objekts als$A$, sind körperlich zeitgleich und wie in 1 angeordnet, so dass die Waffe bei$B$ist auf das Ziel ausgerichtet$A$und der Verschluss ist anfangs oben$A$.

Nehmen wir nun an, die Maschine „schießt auf ihr früheres Selbst“: auf die Waffe$B$ausgelöst wird, entweder durch einen automatischen Zeitmechanismus oder durch das Eingreifen eines Menschen, der eine bewusste Entscheidung trifft. Wenn der Verschluss drin ist$B$noch oben wären, würde die Kugel das Ziel treffen$A$, was dazu führen würde, dass der Verschluss einrastet$B$unten sein, ein Widerspruch. Aber wenn der Rollladen unten wäre$B$, dann wäre die Kugel gestoppt, das Ziel$A$würde nicht getroffen und der Verschluss geschlossen$B$sollte immer noch oben sein: Der Rollladen ist oben, wenn und nur wenn er unten ist; die Situation ist logisch unmöglich.

und Krieles "Spacetime: Foundations of General Relativity and Differential Geometry":

Auf den ersten Blick scheint die Möglichkeit des „freien Willens“ im Mittelpunkt der Problematik zu stehen. Im Anschluss an (Wheeler und Feynman 1949) hat Clarke (1977) das Gedankenexperiment jedoch in Bezug auf eine einfache Maschine neu formuliert und argumentiert, dass das Gedankenexperiment trügerisch ist: Angenommen, es gibt eine Waffe, die auf ein Ziel in der Raumzeit gerichtet ist. Dieses Ziel ist mit einem Verschluss verbunden, der, wenn er geschlossen ist, den Weg zwischen der Waffe und dem Ziel blockiert: Wenn die Waffe ausgelöst wird, trifft die Kugel das Ziel, was wiederum dazu führt, dass der Verschluss herunterfällt. Ein zweiter Schuss wird nun durch den Verschluss blockiert und kann daher das Ziel nicht treffen (vgl. Abb. 8.1.3).Die Waffe wurde ausgelöst. Wieder scheinen wir auf einen Widerspruch zu stoßen: Wenn der Verschluss offen ist, kann die Kugel das Ziel treffen. Aber das Ziel schließt den Verschluss, der wiederum den Weg der Kugel blockiert.

Wie Sie in Ihrem Beitrag erwähnen, sind viele der interagierenden Beispiele elastische Billardkugeln, da sie einem strengen System am nächsten kommen. Das fragliche System ist eine Menge von$n$Punktteilchen, die einer geodätischen Bewegung gehorchen (in den betrachteten Raumzeiten fast ausschließlich gerade Linien), außer dort, wo sie sich schneiden, wo die Erhaltung des Viererimpulses ihr Verhalten diktiert.

Es gibt drei verschiedene Arten von Ergebnissen (für alle Systeme, aber insbesondere hier): Entweder gibt es keine selbstkonsistenten Lösungen für ein System von Billardkugeln mit einer gewissen Anfangsgeschwindigkeit, oder es gibt genau eine Lösung (das System heißt gutartig, und wir können es einfach vorhersagen, was passiert), oder es gibt mehr als eine Lösung. Das Verhalten von Billardkugeln ist sehr unterschiedlich. Von Earman gibt es immer mehrere Lösungen für den zeitähnlichen Zylinder. Die Gödel-Raumzeit ist gutartig (das liegt daran, dass nur beschleunigte Kurven geschlossen sind und dies bei elastischen Kollisionen nicht der Fall ist). Dünnschalige Wurmlöcher scheinen nur unendlich viele Lösungen für die meisten nicht-trivialen Systeme zu haben, es scheint keine inkonsistenten Lösungen zu geben.

Das Papier, das Sie auflisten, hat dafür ziemlich einfache mathematische Ergebnisse, da im nichtrelativistischen Regime und unter Berücksichtigung der Durchquerung des Wurmlochs alles nur klassische Mechanik ist. Während die Berechnungen ziemlich lang sind, gibt es nichts zu physikalisches, wenn Sie nur das grundlegende Ergebnis zugeben, wie der Impuls beim Durchqueren des Wurmlochs erhalten bleibt: Impuls wird beibehalten,$v_{\text{out}} = v_{\text{in}}$, und ob das Teilchen einen Winkel hat$\psi_{\text{in}}$verglichen mit der Linie, die die beiden Wurmlöcher verbindet, und tritt in einem Winkel in die Kehle ein$\phi$, dann tritt es schräg aus$\psi_{\text{out}} = \psi_{\text{in}} - 2\phi$. Danach ist alles nur noch klassische Mechanik.

Für solche Beispiele werden auch makroskopische mechanische Systeme verwendet, da sie einfacher zu handhaben sind, obwohl sie offensichtlich weniger streng sind. Novikov hat einige davon gemacht, wie zum Beispiel in Time machine and self-consistent evolution in problems with self-interaction , wo er die folgenden wenigen Systeme verwendete:

Erstens ein System von Röhren, die mit dem Wurmloch verbunden sind, so dass ein Kolben zurückfahren und sich selbst daran hindern kann, vorwärts zu gehen. Aufgrund der fehlenden Seitwärtsbewegungsfreiheit enthält dieser jedoch Anfangsbedingungen, in denen keine konsistente Entwicklung stattfindet.

Dann, um zu vermeiden, dass das vergangene Objekt das zukünftige Objekt ersetzt, zog er auch einige bombenbezogene Systeme in Betracht. Das erste System ist ein Ball, der so manipuliert ist, dass er explodiert, wenn er irgendein anderes Objekt berührt.

Die Anfangsdaten sind so angeordnet, dass der Ball in den Mund geht$B$, taucht aus dem Mund auf$A$in der Vergangenheit, setzt die Bewegung fort und kommt zum Punkt$Z$gerade rechtzeitig, um mit der "jüngeren" Version selbst zu kollidieren. Diese Begegnung führt zur Explosion. Wir haben den Einfluss der Zukunft auf die Vergangenheit nicht berücksichtigt, bevor der Ball in den Mund kam$B$, und das ist der Grund für das „Paradoxon“.

Aber es gibt eine selbstkonsistente Entwicklung, wie in Abb. 6 gezeigt. Die Anfangsdaten sind die gleichen wie in Abb. 5, aber bevor sie den Punkt Z erreichen, trifft sie auf das Fragment der Explosion ihrer selbst. Dieses Fragment trifft den Ball und es ist die Ursache der Explosion, die Fragmente des Balls fliegen in alle Richtungen mit einer Geschwindigkeit, die viel größer ist als die Geschwindigkeit des Balls. Einige von ihnen fliegen in den Mund Band tauchen aus dem Mund auf$A$in der Vergangenheit. Man kann zeigen, dass sie von Mund A aus praktisch in alle Richtungen weiterfliegen werden, da sie unterschiedliche Aufprallparameter haben, wenn sie in den Mund gelangen$B$. Eines der Fragmente aus dem Mund$A$die Flugbahn des Balls an der Stelle kreuzt$Z'$genau in dem Moment, in dem der Ball an derselben Stelle ankommt$Z'$. Dieses Fragment ist die Ursache für die Explosion des Balls. Die Folge der Explosion (das Splitter) ist die Ursache der Explosion.

Abb. 5. Die in sich widersprüchliche Entwicklung des Problems eines Balls mit einer Bombe.

Abb. 6. Die selbstkonsistente Evolution im selben Problem wie Abb. 5.

Ein bisschen weniger streng als zuvor, da wir ziemlich große Hypothesen über die Flugbahn von Fragmenten aufstellen.

Es gibt eine ganze Reihe solcher Spielzeugmodelle, sowohl in diesen Papieren als auch in anderen, die Sie vielleicht in ihrer Bibliographie finden.

Die einfachsten Modelle, die ich gesehen habe, sind klassische mechanische Behandlungen des Billardproblems mit Zeitmaschinen, zB https://arxiv.org/abs/gr-qc/9506087 , https://arxiv.org/abs/gr-qc/9607063 , https://arxiv.org/abs/gr-qc/0007064