Wie jede Mannigfaltigkeit ist die pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit der Raumzeit in der speziellen oder allgemeinen Relativitätstheorie ein topologischer Raum, daher gibt es einen Begriff von offenen Mengen (oder äquivalent Nachbarschaften), der es uns erlaubt, über Kontinuität, Verbundenheit usw. zu sprechen. Wir verwenden implizit diese Struktur, wenn wir das Äquivalenzprinzip so formulieren, dass jede Raumzeit "lokal wie ein Minkowski-Raum aussieht" - das "lokal" bedeutet wirklich "in sehr kleinen Nachbarschaften innerhalb der Mannigfaltigkeit". Diese punktmengentopologische Struktur ist in gewissem Sinne noch grundlegender als alles, was sich auf die Metrik bezieht, da jede Mannigfaltigkeit eine solche Struktur hat, unabhängig davon, ob sie pseudo-riemannsch (oder sogar differenzierbar) ist oder nicht.
Aber was definiert diese offenen Mengen physikalisch? Für eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (oder allgemeiner jeden metrischen Raum) verwenden wir in der Praxis immer die durch die Metrik induzierte Topologie. Dies funktioniert jedoch nicht für eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit, da die unbestimmte metrische Signatur verhindert, dass es sich um einen metrischen Raum (im mathematischen Sinne) handelt. Wenn ich zum Beispiel ein Photon aussende, das "später" in der Andromeda-Galaxie absorbiert wird, dann gibt es eindeutig einen physikalischen Sinn, in dem die Endpunkte der Null-Photonen-Weltlinie "nicht unendlich nahe beieinander liegen", obwohl das Raumzeitintervall getrennt ist sie ist null (z. B. könnten wir uns sicherlich ein physikalisches Feld vorstellen, dessen Wert über die Null-Trajektorie signifikant variiert). Gibt es einen physikalischen, koordinaten- und Lorentz-invarianten Weg, um die offenen Mengen der Raumzeit zu definieren?
(Beachten Sie, dass ich nicht über die globale/algebraische Topologie der Raumzeit spreche, die ein völlig anderes Thema ist.)
Es besteht keine Notwendigkeit, die Topologie der Mannigfaltigkeit aus der Metrik zu definieren. Obwohl es ein nettes Merkmal ist, wird die Topologie der Mannigfaltigkeit hauptsächlich durch ihren Atlas definiert, der aus physikalischer Sicht den Koordinaten entspricht. Eine Raumzeit mit einem Satz von Koordinaten wird eine Topologie haben, die durch die Abbildung offener Mengen definiert wird zum Verteiler über das Diagramm .
Wenn Sie möchten, gibt es jedoch einige Dinge in der allgemeinen Relativitätstheorie, die die Raumzeit-Topologie definieren.
Eine gemeinsame Grundlage der Raumzeittopologie ist die Alexandrov-Topologie. Wenn Ihre Raumzeit stark kausal ist, entspricht die Alexandrov-Topologie der Mannigfaltigkeitstopologie. Seine Basis wird durch die Menge kausaler Diamanten definiert:
Es ist einfach, Gegenbeispiele zu finden (die Alexandrov-Topologie ist gerecht Und für die Gödel-Raumzeit), aber wenn es stark kausal ist, gibt Ihnen das die vielfältige Topologie zurück.
Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, eine Mannigfaltigkeit zu definieren, von denen einige nicht ganz äquivalent sind, aber alle für physikalische Zwecke äquivalent sind. Man kann zB eine Mannigfaltigkeit im Sinne einer Triangulation definieren.
Sie könnten einfach mit der Mannigfaltigkeit beginnen, die beispielsweise durch eine Triangulation definiert wird. Dann hat es eine bestimmte Topologie, und erst danach müssen Sie sich darum kümmern, eine Metrik darauf zu setzen.
Wenn Sie die Definition einer Mannigfaltigkeit in Form eines Diagramms mit glatten Übergangskarten verwenden, erhalten Sie kostenlos eine Topologie aus den Diagrammen. Ich denke, das ist im Wesentlichen das, was enumaris sagt.
Aber wir sollten auch koordinatenunabhängig über diese Dinge sprechen können. Eine Metrik kann einfach auf einer Mannigfaltigkeit existieren, unabhängig davon, ob die Mannigfaltigkeit jemals in Form von Koordinatendiagrammen definiert wurde. Dann erhalten Sie meiner Meinung nach immer noch eine durch die Metrik induzierte Topologie. Dies liegt daran, dass die Metrik Geodäten definiert und auch affine Parameter entlang dieser Geodäten definiert. In Ihrem Beispiel, in dem Sie ein Photon zur Andromeda-Galaxie senden, bewegt sich das Photon entlang einer Geodäte, wir können einen affinen Parameter definieren, und wir können sagen, dass die Emission und der Empfang des Photons nicht in einer beliebig kleinen Nachbarschaft zueinander liegen , weil sie in einem endlichen affinen Abstand liegen.
Ich weiß nicht, was offene Mengen "physikalisch" definiert, da offene Mengen eine (afaik) rein mathematische Konstruktion sind, aber was die offenen Mengen auf der Raumzeit-Mannigfaltigkeit definiert, sind einfach die offenen Mengen darin . Open setzt ein wird per Definition auf offene Mengen in der Mannigfaltigkeit abgebildet. Die Topologie von Mannigfaltigkeiten wird auf diese Weise natürlich induziert.
Die unbestimmte Metrik einer pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit verhindert, dass es sich um einen metrischen Raum handelt, und verwendet daher diesen Weg, um einen topologischen Raum zu definieren.
Wir können jedoch immer noch die Axiome eines metrischen Raums lockern und immer noch in der Lage sein, einen topologischen Raum zu definieren. In diesem Fall haben wir die Definition einer Pseudometrik und dann geht die Konstruktion der Topologie wie im Normalfall durch.
Mathematisch gesehen besteht eine wichtigere Aporie (eine fehlende, aber wichtige Eigenschaft) darin, dass Mannigfaltigkeiten nicht die Exponentialeigenschaft haben:
Wenn Und sind Mannigfaltigkeiten. Dann Und sind Mannigfaltigkeiten (ersteres ist die disjunkte Vereinigung und letzteres das kartesische Produkt). Während jedoch die Exponentialfunktion existiert sowohl auf der Punktmengen- als auch auf der topologischen Ebene, es ist nicht so vielfältig. Es gibt viele Versuche, dies zu umgehen, aber eine Methode, die zunehmend Anklang zu finden scheint und die zuerst von Souriou vorgeschlagen und später als Diffeologie bezeichnet wurde, verwendet Techniken, die von der Garbentheorie inspiriert sind.
Parker