Verallgemeinert sich die imaginäre Zeit tatsächlich nicht auf den gekrümmten Raum, oder ist es nur unordentlich, sie zu verallgemeinern?

Der Versuch, eine Wick-Rotation durchzuführen, funktioniert nicht mit nicht statischen Raumzeiten, wie man leicht mit diesem groben Argument sehen kann:

Nehmen Sie eine nicht statische Raumzeit, die eine Metrik der Form hat

$$ds^2 = -\alpha(t, x^i) dt^2 + \beta_i(t, x^i) dx^idt + \gamma_{ij}(t, x^i) dx^i dx^j$$

Führen wir nun die Wick-Rotation durch$t \to it$, erhalten wir die folgende Metrik

$$ds^2 = \alpha(it, x^i) dt^2 + i\beta_i(it, x^i) dx^idt + \gamma_{ij}(it, x^i) dx^i dx^j$$

Dies ist nicht garantiert eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, es sei denn$\alpha, \beta, \gamma$sind unabhängig von$t$Und$\beta = 0$, dh wenn die Raumzeit statisch ist. Das gleiche Argument funktioniert in beide Richtungen: Das Wick-Rotieren einer Lorentzschen Metrik garantiert weder eine Riemannsche Metrik, noch garantiert das Drehen einer euklidischen Metrik eine Lorentzsche Metrik. Sie müssen sich mit einer komplexen Metrik auseinandersetzen, für die es einige Tricks gibt, aber nichts so Einfaches wie die Wick-Rotation im flachen Raum.