Wahl der Metrik/Topologie auf RnRn\mathbb{R}^n, wenn wir sagen, dass eine Mannigfaltigkeit lokal homöomorph zu ihr ist

Ich schaue mir Schullers Vorlesungen über Gravitation auf YouTube an. Es wird erwähnt, dass die Raumzeit als topologische Mannigfaltigkeit modelliert wird (mit einer Reihe zusätzlicher Strukturen, die für diese Frage nicht relevant sind).

Eine topologische Mannigfaltigkeit ist eine Menge M mit Topologie Ö M so dass jeder Punkt hinein M wird von einem Diagramm abgedeckt ( U , X ) , Wo U ∈ Ö M Und X : U → X ( U ) ⊂ R N ist ein Homöomorphismus. Um sogar über die Karte zu sprechen X Da wir homöomorph sind, müssen wir in der Lage sein, über offene Mengen in und damit über eine Topologie zu sprechen. R N .

Der Lehrer erwähnt das ( siehe hier ). R N wird als Standardtopologie betrachtet. Die Standardtopologie wird auf der Grundlage offener Kugeln um Punkte herum definiert R N . Um offene Bälle zu definieren, müssen wir eine Metrik angeben R N , und die Definition offener Kugeln in Vorlesung 1 der Serie wurde unter der Annahme einer euklidischen Metrik gegeben R N , dh,

B R ( P ) = { Q ∈ R N   |   “ P − Q “ E < R }
Wo “ ⋅ “ E ist die euklidische Norm.

Ich frage mich also, ob die Annahme einer euklidischen Metrik notwendig ist? Ich habe gehört, dass die gekrümmte Raumzeit als Mannigfaltigkeit modelliert wird, die lokal wie eine flache Raumzeit aussieht, die meines Wissens als Minkowski-Raum modelliert wird, der wiederum die Minkowski-Metrik hat.

Wenn das der Fall ist, dann sind Diagramme in gekrümmter Raumzeit lokal homöomorph zu offenen Mengen im Minkowski-Raum. Müssten wir die Topologie weiter definieren R 4 als Variante der Standardtopologie, in der offene Kugeln nach der Minkowski-Metrik definiert sind? dh

B R ( P ) = { Q ∈ R 4   |   “ P − Q “ M < R }
Wo “ ⋅ “ M ist die Minkowski-Norm, die der metrischen Signatur entspricht diag ( − 1 , 1 , 1 , 1 ) . Ich stelle mir vor, dass dies schwierig zu definieren sein könnte, da die Minkowski-Metrik nicht positiv definit ist.

Etwas mehr Ausarbeitung meines Denkprozesses (danke an Mike Stone dafür): Die Topologie entscheidet meines Wissens über die "Nähe" von Punkten in einer Menge. Wenn wir also ein kleines Stück gekrümmter Raumzeit durch die flache Minkowski-Raumzeit annähern , sagen wir, wenn wir von einer Standardtopologie ausgehen, die durch die euklidische Metrik gekennzeichnet ist, Folgendes: Die euklidische Metrik entscheidet über die Nähe von Punkten in (lokal angenähert) Minkowski-Raum .

Das klingt widersprüchlich, weil uns physikalische Überlegungen nahe legen, dass Raumzeitintervalle (ein Maß für die Nähe von Minkowski-Raumzeitpunkten) mit der Minkowski-Metrik gemessen werden.

Meine Vermutung ist, dass es eine Möglichkeit geben sollte, die Standardtopologie nur mit der Minkowski-Metrik zu erhalten, aber ich vermute, dass dies kein einfacher Weg sein wird.
@MaximalIdeal: Das vermute ich auch, aber die nicht eindeutige Minkowski-Metrik macht es wahrscheinlich wirklich schwierig (wenn überhaupt möglich).

Antworten (2)

  1. Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit ( M , G ) der Unterschrift ( R , S ) ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit M von Dimension N = R + S ausgestattet mit einem metrischen Tensor G ∈ Γ ( S j M 2 T ∗ M ) der Unterschrift ( R , S ) .

  2. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit M ist eine topologische Mannigfaltigkeit mit einer global definierten differentiellen Struktur.

  3. Eine topologische Mannigfaltigkeit M von Dimension N ist ein lokal euklidischer Hausdorff-Raum , dh jeder Punkt P ∈ M hat eine Umgebung, die homöomorph zu ist R N .

  4. Beachten Sie insbesondere die zugrunde liegende topologische Mannigfaltigkeit M ist unabhängig vom metrischen Tensor definiert G (und seine Signatur, kausale Struktur, Krümmung usw.).

  5. Auch sollte man eine Metrik nicht zusammenführen D : M × M → [ 0 , ∞ [ in einem metrischen Raum (im Rahmen von topologischen Räumen und allgemeiner Topologie ) mit einem metrischen Tensor G .

  6. Wenn wir versuchen, einen metrischen Tensor zu verwenden G mit unbestimmter Signatur, um eine Metrik zu konstruieren D aus geodätischer Entfernung würde es für den Anfang die Hausdorff-Eigenschaft und möglicherweise die Nicht-Negativität von verletzen D .

  7. Für eine Lorentz-Mannigfaltigkeit ( M , G ) , Diamantsätze der Form

    ICH + ( P ) ∩ ICH − ( Q ) , P , Q ∈ M ,
    und ihre endlichen Schnittpunkte erzeugen alle offenen Mengen { G ⊆ M ∣ G ∈ τ } für die zugrunde liegende lokal euklidische Topologie τ . Hier ICH ± ( P ) ist die chronologische Zukunft/Vergangenheit des Punktes P ∈ M , bzw.

Ich stimme zu, dass für eine topologische Mannigfaltigkeit im Allgemeinen nicht unbedingt eine Metrik definiert werden muss. Aber ich spreche speziell über die Standard-Topologie auf R N hier, in dem offene Mengen als offene Bälle definiert sind. Ein offener Ball benötigt per Definition den Basiswert R N mit einer euklidischen Metrik auszustatten.
Ihr fünfter Punkt scheint die Frage anzugehen. Könnten Sie das ggf. näher erläutern? Die Metrik wird (im Fall der Standardtopologie) verwendet, um offene Mengen zu definieren, die wiederum verwendet werden, um die Kontinuität von Karten zu spezifizieren. Also eine Kurve γ : R ⊃ ICH → R 4 , die physikalisch der Weltlinie eines Teilchens entspricht, kann basierend auf der Standardtopologie, die eine euklidische Metrik annimmt, als kontinuierlich / nicht kontinuierlich bezeichnet werden. Um also festzustellen, ob die Weltlinie eines Teilchens kontinuierlich ist oder nicht, ignorieren wir die Minkowski-Struktur der flachen Raumzeit. Ist das korrekt?
↑ Ja.
Eindrucksvoll! Meine wichtigste Erkenntnis bisher ist, dass ich zu Unrecht angenommen habe, dass es nur eine Metrik auf einer Menge geben kann (in diesem Fall Raumzeit). Es kann unterschiedliche Metriken geben, die unterschiedlichen Strukturen darauf entsprechen . Und jede Struktur dient einem anderen Zweck. Die Topologie (Struktur, für die Euklidisch verwendet wird) dient dazu, dass wir von Stetigkeit von Kurven sprechen können. Der innere Produktraum (Struktur, für die Minkowski verwendet wird) dient dazu, uns zu erzwingen, dass das Raumzeitintervall unveränderlich ist. Das ist die grobe Idee, die ich habe. Wir freuen uns auf Ihr Update!
Ich habe die Antwort aktualisiert.

Die Topologie des mathematischen Modells der Raumzeit, das in der Allgemeinen Relativitätstheorie verwendet wird, ist die Standardtopologie von R 4 das wird von der üblichen euklidischen Metrik an induziert R 4 . Es ist keine von der Minkowski-Metrik induzierte Topologie.

Können Sie erläutern, warum wir keine von der Minkowski-Metrik induzierte Topologie verwenden? Die Verwendung der Minkowski-Metrik für einen Zweck und die euklidische für einen anderen scheint einem Anfänger wie mir inkonsistent (obwohl ich sicher bin, dass es dafür einen guten Grund geben muss, der für einen Experten offensichtlich ist). Wann immer Sie also Zeit haben, wäre ich für eine (möglichst detaillierte) Erklärung dankbar, wie wir mit der Verwendung unterschiedlicher Metriken für unterschiedliche Zwecke davonkommen können.
Wenn wir versuchen, die Minkowski-Metrik zu verwenden, um eine Topologie zu induzieren, müssten wir alle Punkte identifizieren (dh als gleich ansehen), die lichtartig getrennt sind. Ich stelle mir vor, dass die resultierende Topologie nicht viel nützen würde. Die Mathematik ist nicht dazu da, die Realität zu beschreiben. Es ist ein mathematisches Modell der Realität. Sie können zum Beispiel nichts über die Raumzeit lernen, indem Sie irgendein Theorem über die reellen Zahlen beweisen, sondern verwenden R als Modell erweist sich für viele Zwecke als nützlich.
Tut mir leid, wenn ich ein Schmerz bin (ich bin sicher, dass ich es bin), aber die Topologie entscheidet meines Wissens über die "Nähe" von Punkten in einem Satz. Wenn wir also ein kleines Stück gekrümmter Raumzeit durch die flache Minkowski-Raumzeit annähern, wenn wir von einer Standardtopologie ausgehen, die durch die euklidische Metrik gekennzeichnet ist, sagen wir damit Folgendes: Die euklidische Metrik entscheidet über die Nähe von Punkten im Minkowski-Raum . Das klingt widersprüchlich, denn physikalische Überlegungen schreien uns entgegen, dass Raumzeitintervalle mit der Minkowski-Metrik gemessen werden. Ich werde die Frage bearbeiten, um dies auch einzubeziehen. Danke!
Die Minkowski-Metrik entscheidet, wie sich Licht und andere Wellen ausbreiten; die Raumzeit-Punktmengen-Topologie entscheidet, welche Funktionen als kontinuierlich betrachtet werden. Wellengleichungen können unstetige Lösungen haben.
Was meinen Sie, wenn Sie sagen, die "Minkowski-Metrik entscheidet, wie sich Licht und andere Wellen ausbreiten"? (Es ist mir nicht sofort klar, wie das so ist)
Die Wellengleichung ist G μ v ∂ μ v 2 ϕ = 0 Wo G μ v ist die Minkowski-Signaturmetrik und ϕ ist das (hier masselose) Feld, das man betrachtet.
Wahl der Metrik/Topologie auf RnRn\mathbb{R}^n, wenn wir sagen, dass eine Mannigfaltigkeit lokal homöomorph zu ihr ist
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