Ausschnitt des O(1,n)O(1,n)\text{O}(1,n)-Bündels versus Ausschnitt des Grassmann-Bündels

Eine Mannigfaltigkeit in der Allgemeinen Relativitätstheorie lässt einen metrischen Tensor nur unter der Bedingung zu, dass das Grassmann-Bündel einen Abschnitt zulässt (das liegt daran, dass das Bündel metrischer Tensoren ≈ GR ( 1 , N ) × S ( N , 0 ) , mit S ( N , 0 ) die Menge der Riemannschen Metriken, die immer einen Abschnitt über parakompakte Mannigfaltigkeiten enthält). Dies entspricht allen Mannigfaltigkeiten außer kompakten Mannigfaltigkeiten mit Euler-Charakteristik χ ≠ 0 .

Aber es gibt eine andere Möglichkeit, den metrischen Tensor aus einem Rahmenfeld und der Bündelmetrik auf dem Tangentenbündel zu konstruieren. Ich gehe also davon aus, dass es sich um einen Abschnitt des orthonormalen Tangentenbündels handelt Ö ( 1 , N ) sollte nur unter der gleichen Bedingung bestehen. Was wäre aber der Beweis dafür?

Soweit ich weiß, gibt es keinen kanonischen Begriff eines "Grassmann-Bündels" über einer Mannigfaltigkeit. Sie sollten genauer sein, was die Definition anbelangt.

Antworten (1)

Wenn das Rahmenbündel einen globalen Abschnitt hat { θ J } J = 0 N , dann erhalten Sie eine Lorentz-Metrik durch

G = − θ 0 ⊗ θ 0 + ∑ ich = 1 N θ ich ⊗ θ ich .
Dies ist jedoch übertrieben. Du könntest einfach auswählen θ 0 , eine Riemannsche Metrik H An M , und lass X sei das Dual von θ 0 gegenüber H . Dann ergibt das übliche Verfahren eine Lorentzsche Metrik
G ( Y , Z ) = H ( Y , Z ) − 2 H ( X , Y ) H ( X , Z ) H ( X , X ) , Y , Z ∈ Γ ( T M ) .
Aber die Bedingung, dass M Das Frame-Bundle von lässt einen globalen Abschnitt zu, impliziert, dass es parallelisierbar ist, das heißt, T M ≈ M × R N . Für M kompakt, das impliziert χ ( M ) = 0 nach dem Satz von Hopf. Sie gewinnen also keine neuen Informationen, indem Sie das Problem in diesem Licht betrachten, weil es eine viel stärkere Bedingung ist.

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