Was ist die Metrik der Standard-Raumzeit ohne Zeitorientierung?

Wenn Sie irgendeine Raumzeit-Topologie gelesen haben, kennen Sie diese Raumzeit. Es ist der erstaunliche rotierende Lichtkegel, der nach einer halben Drehung identifiziert wird. Und außerhalb des De-Sitter-Raums mit einigen Identifikationen ist es die einzige nicht-zeitorientierte Raumzeit, die jemals beschrieben wurde.

Hier in Wald zum Beispiel:

Und hier ist es in Sanchez :

Es wird jedoch nie explizit beschrieben. Offensichtlich der Topologie$\Bbb R \times S$, aber darüber hinaus kann jeder raten, was die Metrik tatsächlich ist.

Sanchez gibt tatsächlich fast die Metrik an, indem er uns Skalarprodukte gibt:

$$X_1 = \cos(\pi x) \partial_x + \sin(\pi x) \partial t$$ $$X_2 = -\sin(\pi x) \partial_x + \cos(\pi x) \partial t$$ $$g(X_1, X_2) = -1$$ $$g(X_1, X_1) = g(X_2, X_2) = 0$$

Was bedeutet

$$-\sin(\pi x)\cos(\pi x)g_{xx} + \sin(\pi x)\cos(\pi x) g_{tt}+ (\cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi x)) g_{tx} = -1$$

$$\cos^2(\pi x) g_{xx} + \sin^2(\pi x) g_{tt} + 2 \cos(\pi x)\sin(\pi x) g_{tx} = 0$$

$$\sin^2(\pi x) g_{xx} + \cos^2(\pi x) g_{tt} - 2 \cos(\pi x)\sin(\pi x) g_{tx} = 0$$

Wenn wir die letzten beiden zusammenfassen, erhalten wir

$$g_{xx} = -g_{tt}$$

So

$$2 \sin(\pi x)\cos(\pi x) g_{tt}+ (\cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi x)) g_{tx} = -1$$

$$(-\cos^2(\pi x) +\sin^2(\pi x)) g_{tt} + 2 \cos(\pi x)\sin(\pi x) g_{tx} = 0$$

$$(-\sin^2(\pi x) + \cos^2(\pi x)) g_{tt} - 2 \cos(\pi x)\sin(\pi x) g_{tx} = 0$$

Während sich der Lichtkegel und damit die Richtung von Zeit und Raum dreht, sagt mir mein Instinkt, ich solle setzen$g_{tt} = \cos(\pi x)$. Die Determinante der Metrik wird dann sein$\cos^2(\pi x) - g_{tx}^2$. Um die Signatur zu behalten, bedeutet dies$\cos^2(\pi x) < g_{tx}^2$. Wenn ich diesen Ansatz verwende,

$$g_{tx} = -2 \frac{\sin(\pi x)\cos(\pi x)^2 + 1}{(\cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi x)) }$$

$$g_{tx} = \frac{( \cos^2(\pi x)-\sin^2(\pi x) ) }{2 \sin(\pi x)}$$

Ein schnelles Plotten sagt mir, dass das nicht die gleichen Funktionen sind. Irgendwelche Ideen, was die tatsächliche Metrik wäre?