MTW-Kasten 9.1 Tangentenvektoren und Tangentenraum einer metrikfreien, geodätenfreien Raumzeit. Welche notwendigen Eigenschaften bleiben?

Ohne die Absicht, gegen die Regeln zu verstoßen, möchte ich spezifische Fragen zu dieser allgemeinen Frage stellen. Aus diesem Grund werde ich versuchen, die Art der allgemeinen Antwort zu spezifizieren, die ich suche. Höchstwahrscheinlich ist die beste Antwort auf die aktuelle Frage ein Verweis auf eine Diskussion über rein intrinsische Eigenschaften einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit oder etwas Ähnliches.

Dies ist Box 9.1 von Misner, Thorne and Wheeler's Gravitation.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Die Diskussion geht von einer metrikfreien, geodätenfreien Raumzeit aus. Die Autoren erklären nie, welche Eigenschaften diese Raumzeit besitzt. Was bedeutet es zum Beispiel, die Verschiebung zu multiplizieren? P als λ reicht von 0 Zu 1 / N ? Ohne Konzept der Entfernung, was tut λ sogar meinen?

Welche Eigenschaften sollen wir dieser Raumzeit zuschreiben? Müssen wir davon ausgehen, dass es sich lokal der Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie annähert? Können wir von offenen Bällen sprechen, in deren Mittelpunkt ein Ereignis steht? Können wir davon sprechen, dass eine Nachbarschaft eines Ereignisses beliebig klein wird?

Die Autoren sprechen zwar von der Möglichkeit eines höherdimensionalen „flachen“ „Einbettungsraums“, nennen ihn aber fremd.

Es scheint, als wäre dies nur eine heuristische Idee, um die Definition eines Tangentenvektors zu motivieren (obwohl ich kein Fan solcher Heuristiken bin; ich würde viel lieber zuerst die genaue Definition sehen und dann die Motivation betrachten). Außerdem bin ich mir nicht sicher, was Ihr Hauptanliegen ist. Wie auch immer, die Konzepte von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, "Kurven" in einer Mannigfaltigkeit (dh nur eine glatte Abbildung eines Intervalls in die Mannigfaltigkeit) und Tangentenraum zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit sind allesamt Standardthemen, also bin ich mir noch einmal nicht wirklich sicher wonach du suchst.
Ich bin ziemlich davon überzeugt, dass mehr beabsichtigt ist, als nur Tangentenräume einzuführen etc. An vielen Stellen im Buch zeigt sich eine große Begeisterung dafür, was ohne Metrik erreicht werden kann. In Kapitel 9 wird die Vorstellung eines tangentialen Vektorpfeils in einem tangentialen Raum zu einer nützlichen Fiktion. Was bleibt, ist die Fähigkeit, Skalarfunktionen bezüglich eines Parameters zu differenzieren. Die Bücher von Loring Tu und Frank Warner scheinen die Ansicht von MTW zu teilen. Aber sie sind gewaltige Herausforderungen. CH Edwards murmelt in diesem Bereich auffällig. Alfred Grey führt fast sofort die Bogenlänge ein.

Antworten (2)

Sie brauchen keine Distanz. Betrachtet werden Kurven auf einer Mannigfaltigkeit. Die Kurve auf einer Mannigfaltigkeit ( M ) ist eine Abbildung von reellen Zahlen in eine Mannigfaltigkeit, dh eine Abbildung, die eine reelle Zahl nimmt und einen Punkt in der Mannigfaltigkeit zuweist:

P ( λ ) : R → M .
λ ist einfach Parameter einer Kurve. Der Tangentenvektor wird dann als betrachtet
D P D λ = lim N → ∞ P ( 1 N ) − P ( 0 ) 1 N .

Das Problem ist, dass Sie zwei Punkte subtrahieren und dann durch eine Zahl dividieren und nicht klar ist, was genau dies für die allgemeine Mannigfaltigkeit bedeutet. Für die Riemannsche Mannigfaltigkeit können Sie sich vorstellen, dass dies in eine höherdimensionale flache Mannigfaltigkeit eingebettet ist, wo die Operation sinnvoll ist. Ich denke, dass dies auch der Ursprung des Namens "Tangentenraum" ist, denn im Grenzfall werden die Vektoren in diesem hochdimensionalen flachen Raum tatsächlich tangential zur betrachteten (Unter-) Mannigfaltigkeit.

Und wenn ich mich recht erinnere, gibt es solche Einbettungen immer. Aber mathematisch ist es eine etwas unbefriedigende Definition, da es erfordert, mit einem höherdimensionalen Raum zu beginnen, an dem wir nicht interessiert sind, unsere Tangentenvektoren zu definieren und ihn dann wegzuwerfen. Der Ansatz erfordert auch, dass die Mannigfaltigkeit Riemannsch ist, aber Sie können problemlos Vektoren auf jeder beliebigen Mannigfaltigkeit definieren.

Andererseits ist diese Vorgehensweise einfacher für unsere Intuition, weil wir dann Bilder wie das von Ihnen gepostete zeichnen können. MTW strebt eine intuitivere Erklärung an, aber ich denke, es wäre keine schlechte Idee, sie durch einen mathematischeren Ansatz zur Differentialgeometrie zu ergänzen.

Meine Frage ist sehr schwer zu stellen, da es eine Reihe von Problemen gibt. Eine davon ist: Was ist mit Kurve gemeint? math.stackexchange.com/q/3431851/342834 Was ist dann mit einer parametrisierten Kurve gemeint? Wenn wir anfangen, von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten zu sprechen, stoßen wir auf Dinge wie den inversen und den impliziten Abbildungssatz.
@StevenThomasHatton Haben wir über etwas anderes als differenzierbare Mannigfaltigkeiten gesprochen? Kurve ist eine Abkürzung für parametrisierte Kurve. In der Differentialgeometrie werden alle Kurven parametrisiert. Außerdem erfordert die Definition, mit der ich alle vertraut bin, dass Kurven glatt sind ... Ich sehe kein Problem mit inversen und impliziten Abbildungstheoremen bei der Definition einer Kurve, und ich sehe auch nicht, wie dies für Ihre ursprüngliche Frage relevant ist.
Der Satz über implizite Funktionen wird verwendet, um eine differenzierbare Mannigfaltigkeit als Lösungsmenge für ein System von Beschränkungen zu definieren. Jede unabhängige Einschränkung entfernt eine Dimension (Freiheitsgrad) aus der Anzahl von Dimensionen im Einbettungsraum. Die mir bekannten Entwicklungen verwenden verschiedene Normen, mit denen Verschiebungen quantifiziert werden. Für eine reguläre parametrisierte offene Kurve gibt es zumindest eine Möglichkeit, von einer relativen Bogenlänge zu sprechen. Ein Punkt mit einem größeren Parameterwert hat eine größere Bogenlänge ab dem Punkt, an dem der Parameter 0 ist. Es geht weiter und weiter.
Ich habe die Antwort akzeptiert, aber die Idee einer nicht eingebetteten differenzierbaren (nicht flachen) Mannigfaltigkeit tut mir immer noch weh. Zum Beispiel erfordert Milnors Topologie aus differenzierbarer Sicht eine lokale Parametrisierung einer darin eingebetteten glatten m-Mannigfaltigkeit R k eine Abbildung aus einer offenen Teilmenge von sein R M hinein R k , "damit die Ableitung definiert ist." Im Fall der physikalischen Raumzeit sind wir mit intrinsischen lokalen Messgeräten ausgestattet, die Messstäbe und Uhren genannt werden.
Mir ist jetzt klar, dass dies teilweise für mich verwirrend war, weil die meisten allgemeinen bis spezialisierten Entwicklungen der Geometrie mit einem Begriff von "gerade Kante" beginnen. Aus der allgemeinsten projektiven Geometrie; zur affinen Geometrie; zur metrischen Geometrie. Aber MTW schmeißt alles raus. Als ich früher versuchte, dies zu verstehen, nahm ich an, ich hätte einen unendlich kleinen Meterstab und eine Armbanduhr zur Verfügung.
@StevenThomasHatton Entschuldigung, dass ich nicht antworte, aber ich verstehe nicht wirklich, was Ihre Verwirrung ist. Ich bin auch nie auf die Definition der Mannigfaltigkeit durch den impliziten Funktionssatz gestoßen. Normalerweise wird eine differenzierbare Mannigfaltigkeit als topologischer Raum definiert, der mit einem Atlas mit Konsistenz bei Überlappungen ausgestattet ist. Atlas ist eine Sammlung von Koordinatenkarten ( ω ich ), die die ganze Mannigfaltigkeit abdecken, wobei die Koordinatenkarte Homöomorphismus von der Mannigfaltigkeit in ist R N und die Konsistenz bei Überschneidungen ist durch anspruchsvolle Karten gegeben ω ich − 1 ∘ ω J : R → R k-mal differenzierbar sein
@StevenThomasHatton Ich kenne im Grunde nur das Lehrbuch von MTW und Marian Fecko amazon.com/Differential-Geometry-Lie-Groups-Physicists/dp/… . Ich fand das spätere Buch erstaunlich klar, aber ich bin kein Mathematiker, also ist es vielleicht nicht so streng, wie Sie es gerne hätten. Ich empfehle Ihnen, es zu überprüfen.
OK. Ja, diese Vorgehensweise kenne ich. Ich dachte an Entwicklungen wie den Advanced Calculus of Multiple Variables von CH Edwards. Dirac nahm auch einen affinen Einbettungsraum an. Nichtsdestotrotz scheint das Konzept des Diffeomorphismus zu erfordern, dass Kurven gerade werden, wenn die Bewertungsumgebung verschwindend klein wird. Unter Verwendung eines invertierbaren differenzierbaren Koordinatendiagramms können wir immer den Pythagoreer des Definitionsbereichs auferlegen. Das ist vielleicht kein sehr nützliches Messmittel, aber es ist verfügbar.

Nachdem ich eine Antwort akzeptiert hatte, kam ich auf die Idee, dass "metrisch-frei" eigentlich "metrisch-agnostisch" sein sollte. Zum Beispiel führt Shouten in Shoutens Entwicklung des affinen Raums "Messvektoren" in jedes zulässige Koordinatensystem ein, die komponentenweise gleich der Standardbasis in sind R N (dh Spalten oder Zeilen der Identitätsmatrix.) Dies erlaubt uns, den affinen Raum unter jedem zulässigen Koordinatensystem zu behandeln S als euklidisch in Bezug auf dieses Koordinatensystem. In jedem relativ schiefen Koordinatensystem S ¯ Die S Messvektoren haben nicht die Komponenten der Standardbasis. Aber S ¯ wird seine eigene Standardbasis zum Messen von Vektoren haben, die (in der affinen Geometrie) genauso legitim sind wie alle anderen.

Das Problem ist also nicht das Fehlen einer Metrik. Es ist eine Unendlichkeit von Metriken, die nicht miteinander übereinstimmen, was Entfernung und Volumen definiert.

MTW-Kasten 9.1 Tangentenvektoren und Tangentenraum einer metrikfreien, geodätenfreien Raumzeit. Welche notwendigen Eigenschaften bleiben?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 1v