Ableiten von Eigenschaften von Raumzeit-Mannigfaltigkeiten aus denen von Karten

Diese Frage bezieht sich auf topologische Mannigfaltigkeiten, wie sie in einem der Vorträge von Frederic Schuller über Gravitation diskutiert werden: https://www.youtube.com/watch?v=93f-ayezCqE .

Ein bisschen Hintergrund: Um die Raumzeit zu studieren, weisen wir ihr, kurz gesagt, die Struktur einer topologischen Mannigfaltigkeit zu$M$weil man dann seine offenen Teilmengen auf offene Teilmengen von abbilden kann$\mathbb{R}^d$, über Diagrammkarten. Man kann dann auf die Kontinuität der "wirklichen" Kurve in der Raumzeit schließen (sagen wir,$\gamma : \mathbb{R} \to M$) aus der Kontinuität der Kurve (der sie zugeordnet ist) in$\mathbb{R}^d$. Allgemeiner kann man auf die Eigenschaften der Raumzeit schließen, indem man sich die Eigenschaften ihrer Karten (Atlas) ansieht.

Der Dozent betont, dass während die Kurve in der Mannigfaltigkeit eine "physikalisch reale Sache" sei, die Kurve in$\mathbb{R}^d$ist es nicht, da es von unserer Wahl der Kartendarstellung abhängt, die wiederum willkürlich sein kann. Daher beschäftigen wir uns mit diesen Eigenschaften von$\mathbb{R}^d$Kurven, die unabhängig von der Wahl der Chartkarte sind, und wir können nur davon sprechen, dass solche Eigenschaften auf sie anwendbar sind$\gamma$. Kontinuität ist zufälligerweise eine diagrammunabhängige Eigenschaft, und daher können wir von "Kontinuität von" sprechen$\gamma$".

Frage: Hängt nicht der Begriff der Stetigkeit von Raumzeitkurven selbst von unserer Wahl der Topologie ab?$M$? Schließt das Kontinuität als "physikalisch reale Eigenschaft" einer "physikalisch realen" Kurve nicht aus, da sie nicht unabhängig von der Wahl der Topologie ist? Wenn dies tatsächlich der Fall ist, warum sich dann die ganze Mühe machen, auf die Kontinuität von zu schließen$\gamma$, anstatt sich mit der Kontinuität der Kartenkarte ($\mathbb{R}^d$) Kurven?