Wenn ein Punkt rrr in der Grenze der chronologischen Zukunft eines anderen Punktes ppp liegt, warum gehört dann die chronologische Zukunft von rrr zu der von ppp?

Ich studiere die globale Kausalität der Raumzeit. Hier stoße ich auf ein Problem.

Angenommen, ein Punkt R ∈ ∂ ICH + ( P ) . ICH + ( P ) ist die chronologische Zukunft eines anderen Punktes P in der Raumzeit. Dann wird das behauptet ICH + ( R ) ⊂ ICH + ( P ) . Aber warum?

Lassen Sie mich zunächst versuchen, diese Schlussfolgerung zu beweisen. Mir ist aufgefallen, dass es ein Theorem gibt:

Lassen Sie eine Teilmenge S ⊂ M ( M die Raumzeit-Mannigfaltigkeit) und Menge B = ∂ ICH + [ S ] . Dann wenn X ∈ B − S ¯ , gibt es eine Null-Geodäte η ⊂ B mit zukünftigem Endpunkt X und die entweder Vergangenheits-Endlos ist oder einen Vergangenheits-Endpunkt hat S ¯ .

Also können wir einstellen S = { P } = S ¯ . Seit R ∈ ∂ ICH + ( P ) Und R ≠ P , R ∈ B − { P } mit B = ∂ ICH + ( P ) . Daher gibt es eine Null-Geodäte η Liegen auf B und durchfahren P . Ist das richtig?

Ist das eine Hausaufgabe? Welche Definition verwenden Sie für die chronologische Zukunft? Je nach Definition ist die Transitivität der Relation möglicherweise nur trivial.
Nein, das sind keine Hausaufgaben. Ich lerne es alleine. Ich habe tatsächlich Penroses Techniques of Differential Topology in Relativity gelesen. In diesem Buch definierte er die chronologische Zukunft eines Punktes P als die Menge der Punkte, die verbunden sind P über Reisen. Ein Trip ist eine Kurve, die stückweise eine funktionsorientierte zeitartige Geodäte ist. Wir können auch zeitähnliche Kurven verwenden, um die chronologische Zukunft zu definieren.
@DrakeMarquis: Ich habe das Buch nicht gelesen, aber nach dieser Definition R liegt nicht (oder zumindest nicht notwendigerweise) in der chronologischen Zukunft von P . Sind Sie sicher, dass die Segmente nicht null sein dürfen? Wenn ja, dann denke ich, dass Ihr Beweis funktionieren kann: Sie zeigen das R ∈ ICH + ( P ) B. indem Sie eine Reise ausstellen (wobei Sie zeigen müssen, dass sie nicht vergangenheitslos ist), und dann folgt das Ergebnis aus der Transitivität von "ist in der chronologischen Zukunft von", was trivial ist (die Reisen zusammenkleben). Wenn dies nicht der Fall ist, sehe ich nicht, wie ich die von Ihnen gefundene Null-Geodäte verwenden oder dieses Ergebnis sonst beweisen kann.
@benrg Die Segmente sollten nicht null sein. Ich sollte zeigen, dass die Reise um enden sollte P , was mir schwerfällt...
@benrg Mir wurde gerade klar, dass es vielleicht eine bessere Idee ist, die Eigenschaft der Grenze zu verwenden. R ∈ ∂ ICH + ( P ) , So R ist ein Grenzpunkt, der impliziert, dass jede offene Menge Ö enthält R schneidet ICH + ( P ) . Das muss ich nur zeigen Ö ∩ ICH + ( R ) gehört ICH + ( P ) ... aber ich bin mir nicht sicher, wie ich das machen soll ... Übrigens, R ∉ ICH + ( P ) v. Chr R liegt an der Grenze.
@DrakeMarquis: Wie wäre es damit: Fix S ∈ ICH + ( R ) . Dann R ∈ ICH − ( S ) und da ICH − ( S ) ist offen, es enthält einige Nachbarschaft von R . Wählen Sie eine Folge von Punkten aus ICH + ( P ) konvergiert an R , wählen Sie einen Punkt aus der Sequenz aus, der die Nachbarschaft schneidet, und kleben Sie die Fahrten zusammen.

Antworten (1)

@benrg Ich habe es. Folgen Sie Ihrem Vorschlag für die erste Hälfte. Wählen S ∈ ICH + ( R ) , So R ∈ ICH − ( S ) . ICH − ( S ) ∩ ICH + ( P ) ≠ ∅ . Wählen Sie einen beliebigen Punkt Q ∈ ICH − ( S ) ∩ ICH + ( P ) . Es gibt eine Reise von Q Zu S , und gleichzeitig gibt es Reise von P Zu Q , also kleben Sie die 2 Fahrten, um eine 3. zu erhalten P Zu S . Deshalb, S ∈ ICH + ( P ) . S ist ein beliebiger Punkt in ICH + ( R ) , So ICH + ( R ) ⊂ ICH + ( P ) . Danke schön!

Wenn ein Punkt rrr in der Grenze der chronologischen Zukunft eines anderen Punktes ppp liegt, warum gehört dann die chronologische Zukunft von rrr zu der von ppp?
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