Enthält die Raumzeit in der Allgemeinen Relativitätstheorie Löcher?

Die Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie enthält aufgrund eines physikalischen Arguments keine "Löcher" im Sinne von herausgeschnittenen Regionen - wenn Sie ein Teilchen auf die Region schießen können, sollte es sich in die Region fortsetzen. Aus diesem Grund wird in GR geodätische Vollständigkeit anstelle von Vollständigkeit verwendet. Die Bedingung der geodätischen Vollständigkeit besagt, dass die Mannigfaltigkeit keine Stellen haben darf, an denen die Geodäten grundlos aufhören.

Natürlich garantieren die Singularitätstheoreme, dass die geodätische Vollständigkeit in einem Schwarzen Loch versagt. Aber das Versagen im Fall von zeitähnlichen Singularitäten ist mild – die Singularität ist nur durch Lichtstrahlen erreichbar.

Das, was einer ausgeschnittenen Region am nächsten kommt, ist ein Schwarzes Loch. Das Innere wird in dem Sinne herausgeschnitten, dass es kausal vom Äußeren getrennt wird. Sie können das Innere entfernen und nur das Äußere simulieren (klassisch) und Sie erwarten nicht, auf zu viele Probleme zu stoßen. Ob dies in der Quantenversion vollständig zutrifft, ist mir nicht klar.

Andere topologische Größen können Sie von Hand eingeben, aber es ist nicht klar, ob sie dynamisch erscheinen können. Es gibt die topologische Zensurvermutung, die besagt, dass Sie in der klassischen allgemeinen Relativitätstheorie keinen topologischen Übergang sehen können. Ich kenne den Status (oder sogar die genaue Aussage) dieser Vermutung nicht.

Gibt es physikalische Modelle der Raumzeit, die begrenzte (vierdimensionale) Löcher in sich haben? [...] Und schränken die Einstein-Gleichungen solche Phänomene ein?

Der Begriff eines Lochs oder die Größe eines Lochs macht nicht automatisch Sinn, es sei denn, Sie bilden das Loch, indem Sie etwas aus einem größeren Verteiler herausschneiden, den Sie bereits im Sinn hatten. Wenn Sie zum Beispiel einen Punkt aus einer 2-Kugel schneiden, erhalten Sie etwas, das die Topologie der Euklidischen Ebene hat. In diesem Sinne könnte man davon ausgehen, dass die euklidische Ebene ein Loch hat.

Die Einstein-Feldgleichungen sind Differentialgleichungen, und da Ableitungen lokale Dinge sind, „sehen“ die Feldgleichungen keine globalen Merkmale wie Topologie. Wenn Sie mit einer beliebigen Raumzeit beginnen, die eine Lösung der Feldgleichungen ist, und einen Teil davon herausschneiden, ist die einzige Bedingung, dass die Feldgleichungen definiert und erfüllt bleiben, dass das, was übrig bleibt, immer noch eine Mannigfaltigkeit ist. Mannigfaltigkeiten haben keine Grenzen, also müssen Sie nur sicherstellen, dass Sie eine geschlossene Menge ausschneiden, damit das, was übrig bleibt, die Topologie einer offenen Menge hat.

Mit Löchern meine ich hier Konstruktionen, deren Größe in der Raumzeit begrenzt ist und die beispielsweise durch nichttriviale höhere Fundamentalgruppen charakterisiert werden können.

Es gibt keine Einschränkung hinsichtlich der Größe des Lochs oder seiner topologischen Merkmale, wie z. B. ob es verknotet ist usw. Einzige Bedingung ist, dass nach dem Schneiden immer noch eine Mannigfaltigkeit übrig bleibt.

Könnten relativ lokalisierte und spezielle Konfigurationen der (klassischen) Raumzeit als Materie interpretiert werden? [...] Dh kann in charakteristischen Strukturen der Raumzeit selbst feldartiges Verhalten entstehen, wie zB Löcher im obigen Sinne oder lokalisierte Bereiche wilder Krümmung?

Es gibt Fälle wie diesen, die von physikalischem Interesse sind, andere nicht.

Eine nackte Singularität ist ein physikalisch interessantes Beispiel. Die Singularität wird nicht als Teil der Raumzeit-Mannigfaltigkeit betrachtet, daher könnte sie als "Loch" im topologischen Sinne betrachtet werden.

Als Beispiel, das nicht von physikalischem Interesse ist, könnten wir den Minkowski-Raum nehmen und einen Punkt entfernen. Da die Feldgleichungen lokal sind, ist der fehlende Punkt aus jeder endlichen Entfernung vollständig nicht nachweisbar.

Wir können fehlende Punkte auffüllen, indem wir die Raumzeit verlängern, und wenn wir so weit wie möglich weitermachen, erhalten wir die sogenannte maximal verlängerte Version der Raumzeit. Die maximal erweiterte Version kann physisch realistischer/interessanter als das Original sein oder auch nicht. Zum Beispiel ist die maximale Ausdehnung des Minkowski-Raums tatsächlich das Einstein-Universum, das eine ganz andere Kreatur ist und vielleicht das ist, was Sie studieren wollten oder auch nicht. Die maximale Ausdehnung der Schwarzschild-Raumzeit enthält viele verrückte Dinge wie ein weißes Loch und eine zweite Kopie der äußeren Region; Diese Merkmale sind in einem Schwarzen Loch, das durch Gravitationskollaps entsteht, physisch nicht vorhanden.

Enthält die Raumzeit in der Allgemeinen Relativitätstheorie Löcher?

Das Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik sagt: „Die drastischste Konsequenz aus Einsteins Beschreibung der Gravitation … ist die Möglichkeit, dass Raum und Zeit ‚Löcher‘ oder ‚Kanten‘ aufweisen …“. https://www.einstein-online.info/spotlights/singularities

GR erlaubt eindeutig, dass die Raumzeit Löcher enthält. Geodätische Unvollständigkeit ist in das System eingebaut. Es bleibt jedoch die Frage, ob solche Löcher tatsächlich existieren oder nicht.

Ich glaube schon, und zwar genau im Sinne von ausgeschnittenen Bereichen der Mannigfaltigkeit. Die herausgeschnittenen Regionen sind das, was wir Schwarze Löcher nennen.

Die radiale Komponente der Schwarzschild-Metrik sagt uns, dass die metrische Ausdehnung des Raums am Ereignishorizont ins Unendliche geht. Wenn das Vakuum eine Eigenmasse hat, bedeutet dies, dass der Raum selbst dünner wird und am Horizont vollständig verschwindet. Die Region innerhalb des Ereignishorizonts wird dann zu einem Ausschnitt in der Mannigfaltigkeit, dh zu einer Kavitationsblase oder einem Loch in der Raumzeit.

Die Unendlichkeit am Horizont ist nicht nur ein unglückliches Artefakt des Schwarzschild-Koordinatensystems. Eine Koordinatentransformation zu einem sich ständig beschleunigenden Rahmen in der flachen Minkowski-Raumzeit (das "Freifall"-Koordinatensystem) macht die Unendlichkeit nur analytisch entfernbar . Es entfernt es nicht wirklich oder ändert den Effekt der metrischen Dehnung.

Unter der Annahme einer Eigenmasse des Vakuums sieht es für mich so aus, als ob ein Ereignishorizont den Rand der Raumzeit-Mannigfaltigkeit und die Degeneration der Metrik markiert.

Eine solche Kavitation würde wahrscheinlich eine topologische Änderung sowie eine Degeneration der Metrik mit sich bringen, ist aber möglicherweise kein Problem. Hier ist ein Artikel mit dem Titel Topology Change in General Relativity von Gary T. Horowitz, Department of Physics, University of California, der die Frage auf den Kopf zu stellen scheint: „Die Frage ist nicht, ob Topologieänderungen auftreten können, sondern eher, wie wir das tun verhindern, dass sich die Topologie ändert? Warum teilt sich der Raum um uns herum nicht plötzlich in unzusammenhängende Teile?“ https://arxiv.org/abs/hep-th/9109030

Und hier ist ein weiterer Aufsatz über metrische Degeneration und Topologieänderung in der Allgemeinen Relativitätstheorie, auf den ich kürzlich gestoßen bin: " ... sogar in der Standard-Allgemeinen Relativitätstheorie (in Sprache erster Ordnung) hat Horowitz [20] gezeigt, dass es möglich ist, vernünftig zu konstruieren topologieverändernde Raumzeiten, wenn entartete Metriken erlaubt sind. Dies könnte sich also als der richtige Ansatz zur Beschreibung von Topologieänderungen erweisen. https://arxiv.org/abs/gr-qc/9406053

Das andere Hauptproblem ist die Frage der Eigenmasse. Hat das Vakuum eine eigene Masse? Ist das Vakuum eine Substanz oder nicht? ... die alte Debatte zwischen abstraktem Relationalismus und Substantivalismus. Soweit ich weiß, ist die Frage noch offen, also müssen Ausschnitte im Krümmer eine Möglichkeit bleiben.

Meiner bescheidenen Meinung nach ist dies die interessanteste und wichtigste Frage, die sich heute in der Physik stellt. Wenn solche Ausschnitte existieren, würde dies einen Paradigmenwechsel in unserem Denken über die Natur der Realität erzwingen.

Die mit einem Hohlraum in der Mannigfaltigkeit verbundene externe Metrik wäre (nach dem Satz von Birkhoff) die gleiche wie die für ein normales massives Objekt oder ein Schwarzes Loch. Ein Hohlraum in der Raumzeit-Mannigfaltigkeit wäre also gravitativ nicht von beiden zu unterscheiden. Dies ist, als Antwort auf Ihre verwandte Frage, die Art und Weise, wie lokalisierte und spezielle Konfigurationen der (klassischen) Raumzeit als Materie interpretiert werden könnten.