Was ist über die topologische Struktur der Raumzeit bekannt?

Die Allgemeine Relativitätstheorie besagt, dass die Raumzeit eine Lorentzsche 4-Mannigfaltigkeit ist M dessen Metrik Einsteins Feldgleichungen erfüllt. Ich habe zwei Fragen:

  1. Welche topologischen Beschränkungen legen Einsteins Gleichungen der Mannigfaltigkeit auf? Zum Beispiel impliziert die Existenz einer Lorentz-Metrik einige topologische Dinge, wie das Verschwinden der Euler-Charakteristik.

  2. Werden irgendwelche Experimente durchgeführt oder sogar irgendwelche hypothetischen Experimente, die Informationen über die Topologie geben können? Gibt es zB eine Gruppe von Doktoranden da draußen, die versuchen, Schleifen zu kontrahieren, um die fundamentale Gruppe des Universums zu entdecken?

Zu 2. Wenn Sie die elektromagnetische Wellengleichung in einem geschlossenen Raum lösen, erhalten Sie eine geometrische Dispersion, die die Geschwindigkeit der Wellen von ihrer Frequenz abhängig macht (obwohl der Effekt zu klein ist, um ihn auf den Längenskalen zu beobachten, in denen wir elektromagnetische Strahlung messen).
verwandt: physical.stackexchange.com/q/12012/226902 (ist die Raumzeit einfach verbunden?)

Antworten (6)

Das ist eine großartige Frage! Was Sie fragen, ist eines der fehlenden Glieder zwischen klassischer und Quantengravitation.

Allein die Einstein-Gleichungen, G μ v = 8 π G T μ v , sind lokale Feldgleichungen und enthalten keine topologischen Informationen. Auf der Ebene des Handlungsprinzips

S e h = ∫ M d 4 x − g R

Der Begriff, den wir im Allgemeinen verwenden, ist der Ricci-Skalar R = T r [ R μ v ] , die nur von der ersten und zweiten Ableitung der Metrik abhängt und wiederum eine lokale Größe ist. Die Aktion sagt uns also auch nichts über die Topologie, es sei denn, Sie befinden sich in zwei Dimensionen, wo die Euler-Charakteristik durch das Integral des Ricci-Skalars gegeben ist:

∫ d 2 x R = χ

(modulo einige numerische Faktoren). Die Schwerkraft in 2 Dimensionen ist also vollständig topologisch. Dies steht im Gegensatz zum 4D-Fall, wo die Einstein-Hilbert-Aktion keine topologischen Informationen zu enthalten scheint.

Dies sollte Ihre erste Frage abdecken.

Es ist jedoch nicht alles verloren. Man kann der 4D-Schwerkraft topologische Freiheitsgrade hinzufügen , indem man Terme hinzufügt, die verschiedenen topologischen Invarianten entsprechen (Chern-Simons, Nieh-Yan und Pontryagin). Der Beitrag von Chern-Simons zu der Aktion sieht beispielsweise so aus:

S c s = ∫ d 4 x 1 2 ( ϵ a b ich j R c d ich j ) R a b c d

Hier ist ein sehr schönes Papier von Jackiw und Pi für die Details dieser Konstruktion.

Es gibt noch viel mehr über Topologie und allgemeine Relativitätstheorie zu sagen. Deine Frage kratzt nur an der Oberfläche. Aber darunter liegt eine Goldmine! Ihre zweite Frage überlasse ich jemand anderem. Kurze Antwort ist "ja".

Danke für die Antwort. Ich verstehe nicht, warum EFEs keine topologischen Daten enthalten können, da Sie eine globale Lösung für sie benötigen (Sie können sie lokal lösen, aber sie müssen zusammengefügt werden, um eine globale Metrik zu bilden). Wenn die EFEs beispielsweise so etwas wie eine positive Skalarkrümmung implizieren würden, würde dies die Topologie wirklich einschränken (an einem Punkt positiv zu sein, ist lokal, überall positiv zu sein, ist global). Das Hinzufügen topologischer Invarianten sieht sehr interessant aus - ich muss mich noch eingehender damit befassen.
Ich verstehe, was du sagen willst. Die EFEs sollten neben der Hinzufügung topologischer Terme zu der Aktion eine Art topologischer Information codieren. Oder vielleicht liegt das daran, dass wir die EFEs als grundlegend betrachten, wenn der Ricci-Term und die anderen topologischen Terme aus etwas Allgemeinerem wie z B F Theorie Referenz , die eine topologische Theorie ist. Wie auch immer, wenn Ihnen die Antwort gefällt, könnten Sie sie als Antwort akzeptieren . Vielen Dank :-)
@ user346 "Also ist die Schwerkraft in 2 Dimensionen völlig topologisch" Könnten Sie dies bitte in weniger technischen Begriffen für mich erläutern?
Ich verstehe diese Implikation für die 2D-Schwerkrafttheorie auch nicht. In 2-D ist die Euler-Charakteristik dank der Klassifizierung von 2-D geschlossenen Flächen eine ernsthafte Einschränkung. Allerdings gibt es a priori noch Tonnen von möglicherweise unterschiedlichen Riemannschen Strukturen. Ich hoffe jemand kann es nachvollziehen.

Nur ein zusätzlicher Punkt, den ich oben nicht erwähnt habe: Wenn die Raumzeit eine nicht triviale Fundamentalgruppe hat, wird sie von einem Beobachter im Unendlichen nicht gesehen . Dies ist der Inhalt des topologischen Zensursatzes . Die Implikation ist, dass für eine asymptotisch flache Raumzeit jede interessante Topologie hinter dem Ereignishorizont verborgen sein wird. Der Beweis des Satzes ist ziemlich überraschend einfach: Er ist mehr oder weniger eine direkte Erweiterung des Singularitätssatzes von Penrose.

Sehen:

Friedman, JL; Schleich, K. & Witt, DM Topologische Zensur Phys. Rev. Lett., American Physical Society, 1993, 71, 1486-1489

Schleich, K. & Witt, DM Singularitäten aus der Topologie und differenzierbaren Struktur asymptotisch flacher Raumzeiten http://arxiv.org/abs/1006.2890

Galloway, GJ. Zur Topologie des Bereichs äußerer Kommunikation . Klasse. Quantengravur. 12 Nr. 10 (Oktober 1995) L99 (3 S.)

Sie sind Mathematiker, richtig? Also bitte erklären Sie mir die Dinge auf der Ebene eines Physikers :-) Meine Frage ist, wie ändert sich diese Schlussfolgerung, ob die Raumzeit asymptotisch deSitter oder anti-deSitter ist? Und was halten Sie von der Hypothese des dodekaedrischen Universums ?
@space_cadet: Ich weiß nicht viel über die Hypothese des dodekaedrischen Universums, aber ist es meines Wissens nach nicht ein Versuch, bestimmte "Merkmale" von WMAP-Daten zu erklären? Ich glaube nicht, dass es a priori einen Grund gibt, es auszuschließen oder auszuschließen: Nur Daten werden es zeigen. Zur topologischen Zensur in dS- oder AdS-Räumen: Das Penrose-Argument selbst verwendet nur die Nullenergiebedingung, die nicht von der kosmologischen Konstante beeinflusst wird. Aber die Aussage der topologischen Zensur erfordert meines Erachtens einen zeitähnlichen oder null Scri, um Sinn zu machen. Tatsächlich gibt es im AdS-Fall ein Papier aus dem Jahr 2001 von ...
... Galloway, Schleich, Witt und Woolgar, was zeigt, dass das gleiche Ergebnis (topologische Zensur) für asymptotisch Anti-Desitter-Raumzeiten gilt. Das heißt, indem sie den Bereich der äußeren Kommunikation als den Schnittpunkt der Vergangenheit und der Zukunft von Scri definierten, zeigten sie, dass für (n + 1) dimensionale (mit n mindestens 3) asymptotisch AdS Raumzeiten der Bereich der äußeren Kommunikation ist einfach verbunden, in dem Sinne, dass jede zeitähnliche Kurve, die von Scri zu (dem gleichen verbundenen Stück von) Scri geht, kontinuierlich zu einer kausalen Kurve in Scri verformt werden kann.
Interessante Antwort, aber das könnte Sie interessieren: link.springer.com/article/10.1134%2FS0202289313010064 .

Ich kenne die Antwort nicht, aber Ihre Intuition stimmt - die Tatsache, dass die Gleichungen lokal sind, bedeutet nicht, dass es keine Einschränkung für die Topologie einer globalen Lösung geben kann. Zum Beispiel in der euklidischen Signatur, R ich j = g ich j impliziert sofort, dass die skalare Krümmung positiv ist, was wiederum zu topologischen Einschränkungen führt. Wenn die Vierermannigfaltigkeit Einstein und komplex ist, dann muss es eine Del-Pezzo-Fläche sein (stark eingeschränkt). Ich weiß nicht viel über die Signatur von Lorentz, aber ich weiß, dass die PDEs ein ganz anderes Biest sind. Ich habe ein paar Ergebnisse über die Klassifizierung möglicher Holonomiegruppen von Lorentz-Einstein-Mannigfaltigkeiten gesehen, aber ich weiß nichts Globales (ich weiß eigentlich überhaupt nichts).

  1. Einstein-Gleichungen beschreiben die lokale Struktur der Raumzeit. Sie enthalten keine globalen oder topologischen Informationen.

    Ich habe zwar gehört, dass einige Einschränkungen auf der Skala der Topologie aus der Krümmung des Universums abgeleitet werden können, wenn die Krümmung negativ ist. (Etwas wie „Skala = ganzzahliges Vielfaches von 1/Krümmung“.)

  2. Nun, wenn unser Weltraum eine nicht-triviale Topologie hat, werden Lichtstrahlen unser Universum mehrmals "umwickeln" und Sie werden dieselben (ähnlichen) Kopien von Galaxien sehen können. Ich habe von Leuten gehört, die erfolglos nach solchen Ähnlichkeiten gesucht haben.

    Auch muss die nichttriviale Topologie zu einer gewissen Korrelation in CMB führen - solche Korrelationen wurden (noch?) Auch nicht gefunden.

Was meinst du mit Maßstab der Topologie? Aber Einsteins Gleichungen müssen global gelöst werden, also könnten sie der Topologie nicht einige Einschränkungen auferlegen? Wenn zum Beispiel Einsteins Gleichungen eine positive Skalarkrümmung implizierten, würde dies die möglichen Mannigfaltigkeiten einschränken. Da es auch keine Klassifizierung von einfach verbundenen 4-Mannigfaltigkeiten gibt, scheint es wahrscheinlich, dass es nicht triviale gibt, die nicht die "Wrap-Around" -Eigenschaft von Lichtstrahlen haben würden.
Einfachstes Beispiel - Betrachten Sie die flache Raumzeit. Sie können sich vorstellen, dass es sich "wickelt", wenn Sie also die Strecke L in eine Richtung zurücklegen, gelangen Sie an denselben Ort. Soweit ich weiß, würde man das (im einfachsten Fall) als 3D-Torus bezeichnen. Der Abstand L ist der Maßstab der Topologie. Es kann beliebig sein – Einstein-Gleichungen legen ihm keine Beschränkungen auf.
Oh ok, das wäre also immer noch eine geometrische Sache: Das Skalieren eines Zylinders ändert keine Topologie.
@Kostya Können Sie einige Artikel auflisten, in denen versucht wird, zu modellieren: "Auch nichttriviale Topologie muss zu einer gewissen Korrelation in CMB führen ... "?
@Kostya danke, ich habe hier nach so etwas gesucht ... physical.stackexchange.com/questions/438454/… (habe noch nicht das Ganze gelesen, dachte: P)

Dies sind zwei unabhängige Fragen, eine mathematische und eine über Beobachtungen.

  1. Welche Einschränkungen implizieren die Einstein-Gleichungen für die globale Struktur von Raum und/oder Raumzeit? Ich kenne die allgemeine Antwort nicht, mein Eindruck ist, dass über Lorentzsche Mannigfaltigkeiten nicht so viel bekannt ist wie über euklidische Mannigfaltigkeiten. Darüber hinaus gibt es keinen Grund zu der Annahme, dass Raum/Raumzeit frei von Singularitäten ist (zumindest wissen wir von vielen Schwarzen Löchern im Universum), und ich bezweifle, dass viel über die globale Struktur einer Mannigfaltigkeit gesagt werden kann, wenn Sie dies zulassen Singularitäten.

  2. Zur Beobachtungsphysik: Die einzige Beobachtungsgröße, die mir einfällt, die für globale Strukturen empfindlich ist, sind die niedrigen Multipole des CMB, und hin und wieder gibt es Artikel zu diesem Thema, um Anomalien in solchen Multipolen zu erklären (z. B. Geschichten über fußballförmige Universum). Leider schränkt die kosmische Varianz ein, wie ernst Sie solche Beobachtungen und Modelle nehmen können, die darauf abzielen, sie zu erklären.

Zur Frage der Experimente und Topologie gibt es einige Arbeiten zu diesem Thema von Glenn Starkman et al. In ihrer Arbeit suchen sie nach Strukturen im CMB, die auf eine bestimmte Topologie des Universums hinweisen würden. Es gibt einen sehr netten Vortrag in PI zu diesem Thema sowie zu anderen Themen, die mit CMB zu tun haben . Um Ihnen einen Spoiler zum Vortrag zu geben, sie haben nichts in Großwinkelkorrelationen gefunden.

Was ist über die topologische Struktur der Raumzeit bekannt?
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