Ist die Raumzeit einfach verbunden?

Wie ich in einer früheren Frage von mir gesagt habe, bin ich Mathematiker mit sehr geringen Kenntnissen in Physik, und ich frage hier Dinge, auf die ich neugierig bin / Dinge, die mir beim Lernen helfen werden.

Das fällt in die Kategorie der Dinge, auf die ich neugierig bin. Haben die Leute darüber nachgedacht, ob die Raumzeit einfach verbunden ist ? Ebenso kann man fragen, ob es kontrahierbar ist, was seine Betti-Zahlen sind, seine Euler-Charakteristik und so weiter. Welche physikalische Bedeutung hätte es, wenn es nicht einfach verbunden wäre?

Ich wage es nicht, das anzupacken, aber ich würde vermuten, dass der vierdimensionale Raum das nicht ist, da er in raumähnliche und zeitähnliche Regionen unterteilt ist und die beiden sich niemals treffen werden. Dann gibt es all diese gefalteten Räume in Stringtheorien, Calabi-Yao-Mannigfaltigkeiten mit vielen Löchern. Wir zielen sicherlich auf nicht einfach zusammenhängende Räume ab, wenn wir sie in den Raum einbeziehen.
Möglicherweise verwandt: physical.stackexchange.com/q/1787/2451
Anna V, der erste Teil Ihres Kommentars deutet darauf hin, dass Sie mehr über kausale Zusammenhänge sprechen, was bei der Diskussion globaler topologischer Strukturen nicht wirklich relevant ist.
Zwei leicht verwandte Tatsachen, seit Sie "Euler-Charakteristik und so weiter" erwähnt haben (aber mit wenig Einfluss auf die Frage im Titel): 1. Manchmal wird angenommen, dass die Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit Spin ist . (Zum Beispiel wird diese Tatsache in Wittens Beweis des positiven Massensatzes verwendet.) Dies erfordert das Verschwinden der zweiten Stiefel-Whitney-Klasse, die Ihnen etwas über die Topologie sagt.
2. Es gibt einen kleinen Satz, der Folgendes besagt: Bei einer gegebenen zusammenhängenden (1+3)-dimensionalen Lorentz-Mannigfaltigkeit kann ihre universelle Hülle nicht kompakt sein. (Beweisskizze: Die Lorentz-Metrik unterscheidet Zeitrichtungen. Es existiert also ein nicht verschwindender Abschnitt des tangentialen Kugelbündels. Daher muss die Euler-Charakteristik 0 sein. Unter Verwendung der Poincare-Dualität ist die Euler-Charakteristik einer einfach zusammenhängenden kompakten 4-Mannigfaltigkeit jedoch at mindestens 2.)
Es gibt einige Einschränkungen für die Topologie, die sich aus dem Zusammenspiel von Topologie und Differentialgeometrie ergeben (denken Sie an das Gauß-Bonnet-Theorem), aber es ist moralisch in Ordnung zu sagen, dass GR keine Topologie erzwingt. Ich glaube, es ist möglich, Räume zu konstruieren, die Einstein-Gleichungen mit mehr oder weniger jedem gewünschten Homotopietyp erfüllen.
@WillieWong im Zusammenhang mit Ihrem Kommentar ist die Tatsache, dass alle 4-Mannigfaltigkeiten eine Spinc-Struktur tragen math.berkeley.edu › spinPDF Webergebnisse ALLE 4-Mannigfaltigkeiten HABEN SPINc-STRUKTUREN - Berkeley Math
@AnnaV: Der Minkowski-Raum ist in raumartige und zeitartige Regionen unterteilt, aber einfach verbunden.

Antworten (2)

Ich nehme an, es gibt viele Aspekte, von denen aus man dies betrachten kann, Anna V hat erwähnt, dass Calabi-Yao-Mannigfaltigkeiten in der Stringtheorie (möglicherweise?) Viele Löcher haben, ich werde die Frage aus einer rein allgemeinen Relativitätsperspektive in Bezug auf die globale Topologie angehen.

Lösungen in den Einstein-Gleichungen selbst verraten nichts über die globale Topologie, außer in sehr speziellen Fällen (am bemerkenswertesten in 2 (räumliche Dimensionen) + 1 (zeitliche Dimension), wo die Theorie vollständig topologisch wird). Eine Metrik an sich setzt der Topologie einer Mannigfaltigkeit nicht unbedingt Grenzen.

Darüber hinaus gibt es ein Theorem der Allgemeinen Relativitätstheorie, die so genannte topologische Zensurhypothese , die im Wesentlichen besagt, dass jede topologische Abweichung von einer einfach verbundenen Oberfläche schnell zusammenbrechen wird, was zu einer einfach verbundenen Oberfläche führt. Diese Arbeit geht von einer asymptotisch flachen Raumzeit aus, was im Allgemeinen das akzeptierte Modell ist (wie die Supernova-Rotverschiebungsforschung und ähnliche Dinge gezeigt haben).

Ein weiterer Aspekt dieser Frage ist, dass das Universum normalerweise in allen Richtungen als homogen und isotrop angesehen wird, topologische Defekte würden bedeuten, dass dies nicht wahr wäre. Obwohl das wirklich keine überzeugende Antwort ist ...

Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten haben normalerweise "höherdimensionale" Löcher (dh diejenigen, die von höheren Homotopiegruppen, aber nicht von der Fundamentalgruppe erkannt werden). Tatsächlich gibt es für jede Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit eine endliche Überdeckung, die ein Produkt aus einem Torus und einer einfach verbundenen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit ist.
Was ist mit ewigen String-Singularitäten? Übrigens scheint das zitierte Papier nur zu verhindern, die „Topologie zu untersuchen“, und selbst in einem solchen Fall kann der Beweis eine Lücke aufweisen.
Ich bin mit ewigen String-Singularitäten nicht vertraut. Gibt es Ressourcen, die Sie darüber kennen?
Es ist so etwas
LoL… das Papier erfordert eine konforme Vervollständigung der Raumzeit mit sowohl zukünftigen als auch vergangenen Teilen, die homöomorph zu S² × ℝ sind. Für die Vergangenheit eines Universums, das aus kosmologischer Singularität (dem Ausgangspunkt des Urknalls) gebildet wurde, ist dies sicherlich nicht der Fall.
„Diese Arbeit geht von einer asymptotisch flachen Raumzeit aus, was im Allgemeinen das akzeptierte Modell ist (wie die Supernova-Rotverschiebungsforschung und ähnliche Dinge gezeigt haben).“ Das Universum ist nicht asymptotisch flach, weil es auf kosmischer Ebene homogen ist, also gibt es keine Raumrichtung, in der Sie sich bewegen können, die das Universum zu Minkowski neigen lässt. Wenn Sie in Ihre Definition von Asymptotik die Grenze der fernen Zukunft des Universums einbeziehen, dann ist das Universum aufgrund der kosmologischen Konstante, die das Universum in der fernen Zukunft dominiert, asymptotisch de Sitter.

Die Antwort von Benjamin Horowitz deckte viele der wichtigsten Punkte ab, aber es ist erwähnenswert, dass die Frage nach der Topologie des Universums durch astrophysikalische Beobachtungen untersucht wurde. Wenn das Universum mehrfach verbunden ist und die Längenskala kürzer ist als die Horizontskala, dann sollten wir in der Lage sein, Beweise dafür zu sehen.

Um ein einfaches Beispiel zu nehmen, stellen Sie sich vor, dass das Universum geometrisch flach ist, aber die Geometrie eines 3-Torus hat. Nehmen Sie insbesondere ein kubisches Volumen und identifizieren Sie gegenüberliegende Flächen, sodass Sie, wenn Sie den Würfel durch eine Fläche „verlassen“, durch die gegenüberliegende Fläche wieder eintreten. Wenn die Länge einer Kante des Würfels ausreichend klein ist, könnten Sie mehrere Kopien eines bestimmten Objekts sehen. Wenn die Länge natürlich viel größer als der Horizont ist, gibt es keine Möglichkeit, den Unterschied zwischen diesem Modell und einem Modell zu erkennen, bei dem der Raum unendlich ist.

Der beste Weg, diese Modelle zu testen, ist die „ Circles in the Sky “-Technik, bei der Sie in Karten der Mikrowellen-Hintergrundstrahlung nach korrelierten Kreisen in verschiedenen Richtungen suchen. Das Ergebnis ist negativ : Wir leben nicht in einem mehrfach verbundenen Universum mit einer ausreichend kurzen Längenskala, um beobachtbar zu sein.

Kürzlich erschienen Preprints , dort werden auch die WMAP-Daten verwendet, aber mit Anspruch auf Möglichkeit eines mehrfach zusammenhängenden Universums mit räumlicher Topologie T 2 × R . Es scheint noch nicht in einer Zeitschrift veröffentlicht worden zu sein, aber die Idee ist bereits in Wikipedia reproduziert .
Danke für den Hinweis. Das hatte ich verpasst. Wie ich es auf einen kurzen Blick verstehe, besteht die Idee hier darin, den Fall zu betrachten, in dem die Grundzellengröße größer als der Horizont ist (damit die Kreise-im-Himmel-Technik nicht funktioniert), aber nicht zu viel größer (sonst gäbe es überhaupt keine beobachtbaren Effekte). Das ist im Prinzip vernünftig, aber bei dieser Art von Analyse kommt es sehr auf die Details an, und ich habe nicht genau genug hingeschaut, um eine vernünftige Meinung zu den Details zu haben.
@TedBunn Ihr Beispiel der drei Torus ist meiner Meinung nach irreführend. Man kann leicht einen nicht einfach verbundenen Raum haben (z. B. ein Wurmloch, das zwei Regionen verbindet) und dennoch eine einfach verbundene Raumzeit haben. Ein einfaches niedrigdimensionales Beispiel dafür ist ein Kreis (nicht einfach verbunden), der zwei Scheiben begrenzt (einfach verbunden).
Ist die Raumzeit einfach verbunden?
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