Warum können bestimmte Funktionen in die Schwarzschild-Metrik aufgenommen werden, während andere dies nicht können?

Question

Warum können bestimmte Funktionen in die Schwarzschild-Metrik aufgenommen werden, während andere dies nicht können?

Danny Goldstein

Noch eine Frage zur Schwarzschild-Lösung der Allgemeinen Relativitätstheorie:

Bei der Ableitung (unten gezeigt) der Schwarzschild-Metrik aus der Vakuum-Einstein-Gleichung haben wir bei dem mit „HIER“ markierten Schritt die Freiheit, die Zeitkoordinate von neu zu skalieren $dt \rightarrow e^{-g(t)}dt$ . Wenn wir jedoch später in der Ableitung eine Integrationskonstante bei dem mit "HERE2" markierten Schritt aufgreifen, können wir diese Konstante nicht in die Metrik aufnehmen. Tatsächlich wird diese Konstante zu einem grundlegenden Bestandteil der Metrik selbst. Warum können wir diese Konstante nicht auch in die Differentiale der Metrik einbauen?

Hier die Ableitung:

R_{μ v} - \frac{1}{2} R G_{μ v} = 0

$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = 0$

Nehmen Sie die allgemeinste sphärisch symmetrische metrische Lösung für das Obige an:

G_{μ v} = (\begin{matrix} - e^{2 a (R, T)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & e^{2 β (R, T)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & R^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & R^{2} {Sünde}^{2} (θ) \end{matrix})

$g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -e^{2\alpha(r,t)} & 0 & 0 & 0\\ 0 & e^{2\beta(r,t)}&0&0\\0&0&r^2 & 0\\0 & 0 &0 & r^2\sin^2(\theta) \end{pmatrix}$

Nehmen Sie die Spur von beiden Seiten:

R + 2 R = 0 \Rightarrow R = 0 R_{μ v} - \frac{1}{2} (0) = 0 R_{μ v} = 0

$R + 2R = 0\\ \Rightarrow R = 0\\ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}(0)= 0\\ R_{\mu\nu}=0$

Wir sind frei zu sagen:

R_{01} = \frac{2}{R} \dot{β} = 0 \Rightarrow \dot{β} = 0 ∴ β = β (R)

$R_{01} = \frac{2}{r}\dot{\beta}=0\\ \Rightarrow \dot{\beta} = 0\\ \therefore \beta = \beta(r)$

Nun können wir eine zeitliche Ableitung von nehmen $R_{22}$ ,

\dot{R_{22}} = \frac{D (e^{- 2 β} [R (β^{'} - a^{'}) - 1] + 1)}{D T} = 0 = e^{2 β} R {\dot{a}}^{'}

$\dot{R_{22}} = \frac{d\left(e^{-2\beta}[r(\beta'-\alpha') - 1] + 1\right)}{dt} = 0 = e^{2\beta}r\dot{\alpha}'$ (Weil

\dot{β} = 0

$\dot{\beta} = 0$ ,

r

$r$ nur eine Raumzeitkoordinate ist (und daher unabhängig von anderen Raumzeitkoordinaten ist), und

{\dot{β}}^{'} = \partial_{r} \partial_{t} β = \partial_{r} (0)

$\dot{\beta}' = \partial_r\partial_t\beta = \partial_r(0)$ .)

{\dot{a}}^{'} = 0 ∴ a = F (R) + G (T)

$\dot{\alpha}' = 0\\ \therefore \alpha = f(r) + g(t)$ weil dies die einzige funktionale Form ist, für die

\partial_{r} \partial_{t} α = \partial_{t} \partial_{r} α = 0

$\partial_r\partial_t\alpha = \partial_t\partial_r\alpha = 0$ . Jetzt wird die Metrik zu:

G_{μ v} = (\begin{matrix} - e^{2 F (R)} e^{2 G (T)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & e^{2 β (R)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & R^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & R^{2} {Sünde}^{2} (θ) \end{matrix})

$g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -e^{2f(r)}e^{2g(t)} & 0 & 0 & 0\\ 0 & e^{2\beta(r)}&0&0\\0&0&r^2 & 0\\0 & 0 &0 & r^2\sin^2(\theta) \end{pmatrix}$

HIER können wir an dieser Stelle die Zeit neu skalieren: $dt \rightarrow e^{-g(t)}dt$ , was die Metrik macht :

G_{μ v} = (\begin{matrix} - e^{2 F (R)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & e^{2 β (R)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & R^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & R^{2} {Sünde}^{2} (θ) \end{matrix})

$g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -e^{2f(r)} & 0 & 0 & 0\\ 0 & e^{2\beta(r)}&0&0\\0&0&r^2 & 0\\0 & 0 &0 & r^2\sin^2(\theta) \end{pmatrix}$

Einstellung $R_{11} = R_{00}$ , wir finden:

e^{2 (β - a)} R_{00} + R_{11} = 0 \frac{2}{R} a^{'} + \frac{2}{R} β^{'} = 0 \Rightarrow a = - β + C Ö N S T .

$e^{2(\beta-\alpha)}R_{00} + R_{11} = 0\\ \frac{2}{r}\alpha' + \frac{2}{r}\beta' = 0\\ \Rightarrow \alpha = -\beta + const.$

Diese Konstante wird absorbiert in $dr^2$ .

HIER2, Jetzt kommt der entscheidende Teil, den ich nicht verstehe: Rückblick $R_{22} = 0$ , wir haben

(R e^{2 a})^{'} = 1 \int (R e^{2 a})^{'} = \int 1 R e^{2 a} = R + \underset{Konstante der Integration}{\underset{⏟}{μ}} e^{2 a} = 1 + \frac{μ}{R}

$(re^{2\alpha})' = 1\\ \int (re^{2\alpha})'= \int 1\\ re^{2\alpha} = r + \underbrace{\mu}_{\text{Constant of integration}}\\ e^{2\alpha} = 1 + \frac{\mu}{r}$

Die Metrik lautet also schließlich:

D S^{2} = - (1 + \frac{μ}{R}) D T^{2} + (1 + \frac{μ}{R})^{- 1} D R^{2} + R^{2} D Ω^{2} .

$ds^2 = -(1 + \frac{\mu}{r})dt^2 + (1 + \frac{\mu}{r})^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega^2.$

Warum nicht $\frac{\mu}{r}$ absorbiert werden $dt^2$ Und $dr^2$ wie $g(t)$ und die andere Integrationskonstante in dieser Ableitung waren? Ich verstehe den Unterschied überhaupt nicht, wäre für jede Hilfe sehr dankbar!!

QMechaniker

Hier ist ein weiterer Phys.SE-Beitrag über die Ableitung des Birkhoff-Theorems.

Antworten (2)

Warum können bestimmte Funktionen in die Schwarzschild-Metrik aufgenommen werden, während andere dies nicht können?

Hier ist ein weiterer Phys.SE-Beitrag über die Ableitung des Birkhoff-Theorems.

Michael · Answer 1

Beginnen wir mit der Metrik

D S^{2} = - (1 - \frac{2 G M}{R}) D T^{2} + {(1 - \frac{2 G M}{R})}^{- 1} D R^{2} + R^{2} D Ω^{2} .

$\mathrm{d}s^2 = -\left( 1- \frac{2 G M}{r} \right) \mathrm{d}t^2 + \left( 1- \frac{2 G M}{r} \right)^{-1} \mathrm{d}r^2 + r^2 \mathrm{d}\Omega^2 .$

Einen metrischen Koeffizienten zu "absorbieren" bedeutet wirklich, eine neue Koordinate zu definieren, so dass dieser Koeffizient in Bezug auf die neuen Koordinaten verschwindet (oder eins wird). Dann geben Sie der neuen Koordinate wahrscheinlich denselben Namen wie der alten, aber das ist ein separater Schritt.

Versuchen wir also, eine neue Zeitkoordinate zu definieren $\tau(t,r)$ so dass

D τ = \frac{\partial τ}{\partial T} D T + \frac{\partial τ}{\partial R} D R = \sqrt{1 - \frac{2 G M}{R}} D T .

$\mathrm{d}\tau = \frac{\partial \tau}{\partial t} \mathrm{d}t + \frac{\partial \tau}{\partial r} \mathrm{d}r= \sqrt{1- \frac{2 G M}{r}} \mathrm{d}t.$

Wenn dies funktioniert, wird die Metrik sein $\mathrm{d}s^2 = -\mathrm{d}\tau^2 + \cdots$ , das ist, was ich denke, was Sie suchen. Aus der vorherigen Gleichung haben wir $\partial \tau/\partial r = 0$ , So $\tau(t,r)=\tau(t)$ , aber dann brauchen wir $\partial \tau/\partial t$ eine Funktion von sein $r$ , was eindeutig unmöglich ist, wenn $\tau$ selbst ist keine Funktion von $r$ . Es gibt also keine $\tau$ Koordinate könnten wir mit der gewünschten Eigenschaft einführen (dies ist eigentlich eine Folge der nichttrivialen Krümmung). Mathematisch $\sqrt{1- \frac{2 G M}{r}} \mathrm{d}t$ ist kein exaktes Differential. Sie können dies umgehen, wenn Sie bereit sind, übergreifende Begriffe einzuführen $\mathrm{d}\tau \mathrm{d}r$ usw.

Anders ist es bei der $r$ Koordinate. Einführen $\rho(t,r)$ so dass:

D ρ = \frac{\partial ρ}{\partial T} D T + \frac{\partial ρ}{\partial R} D R = {(1 - \frac{2 G M}{R})}^{- 1 / 2} D R .

$\mathrm{d}\rho = \frac{\partial \rho}{\partial t} \mathrm{d}t + \frac{\partial \rho}{\partial r} \mathrm{d}r= \left(1- \frac{2 G M}{r}\right)^{-1/2} \mathrm{d}r.$

Der erste Term gibt $\rho(t,r) = \rho(r)$ und der zweite gibt

\frac{D ρ}{D R} = {(1 - \frac{2 G M}{R})}^{- 1 / 2},

$\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d} r} = \left(1- \frac{2 G M}{r}\right)^{-1/2},$

die integriert zu (z $r > 2 G M$ )

ρ = konst + R \sqrt{\frac{R - 2 G M}{R}} + G M (Protokoll (R \sqrt{\frac{R - 2 G M}{R}} - G M + R)),

$\rho = \text{const}+r \sqrt{\frac{r-2 G M}{r}}+G M \left(\log \left(r \sqrt{\frac{r-2 G M}{r}}-G M+r\right)\right),$

wofür ich Sie einlade, es zu versuchen und umzukehren $r(\rho)$ . :)

Im Prinzip kann es invertiert werden und Sie erhalten die Metrik

D S^{2} = - (1 - \frac{2 G M}{R (ρ)}) D T^{2} + D ρ^{2} + R (ρ)^{2} D Ω^{2} .

$\mathrm{d}s^2 = -\left( 1- \frac{2 G M}{r(\rho)} \right) \mathrm{d}t^2 + \mathrm{d}\rho^2 + r(\rho)^2 \mathrm{d}\Omega^2 .$

Dies hat den Koeffizienten vor dem absorbiert $\mathrm{d}r$ auf Kosten der Verkomplizierung des Rests der Metrik.

Levitopher · Answer 2

Wenn Sie vorhaben, eine neue Zeitvariable zu definieren

$t'=\sqrt{1+\mu /r} ~t$

Wenn Sie dann die Ableitung nehmen (um zu sehen, wie sich die Metrik ändert), erhalten Sie

$dt=\frac{dt'}{\sqrt{1+\mu /r}}+\frac{1\mu}{2r^2}\frac{dr}{(1+\mu /r)^{3/2}}$

Mit anderen Worten, Sie werden beide neu skalieren $t$ Und $r$ da die Funktion vor t eine Funktion von beiden ist und nicht nur eine Funktion von $t$ als $g(t)$ War. Dann werden Sie quadrieren $dt$ und Kreuzbegriffe erhalten $dt'dr$ , und Ihre Metrik ist nicht mehr diagonal.

An sich kein Problem, aber normalerweise nicht erwünscht.

Ich schätze, wenn du es wirklich versuchen wolltest, würdest du dich integrieren

$\int dt'=\int \sqrt{1+\mu / r}dt$

Aber $r(t)$ im allgemeinen also wieder, du hättest probleme.

BEARBEITEN: Sie folgen eindeutig einem Text; Schauen Sie sich an, was sie über Eddington-Finkelstein-Koordinaten sagen. Ich denke, das könnte das Problem veranschaulichen. Diese Koordinaten stammen aus einer Neuskalierung der radialen Koordinate, um die Singularität am Ereignishorizont zu beseitigen.

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Danny Goldstein

QMechaniker

Antworten (2)

Michael

Levitopher

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