Kann ein hypothetisches Universum mehr als zwei Arten von Dimensionen haben: räumlich und zeitlich?

Unser Modell für die Raumzeit ist das einer Mannigfaltigkeit , was der mathematische Ausdruck für etwas ist, das aussieht wie$\mathbb{R}^n$in jedem herangezoomten Patch, und wo all diese Patches auf sinnvolle Weise zusammengefügt sind. Auf unserem Verteiler haben wir$n$Koordinaten – reelle Zahlen, die jeden Punkt beschreiben und von Punkt zu Punkt fließend variieren.

Wir fügen unserem Modell auch den Begriff von Winkeln und Größen hinzu, und dies wird über eine Metrik erreicht $g$, was uns ein inneres Produkt zwischen Vektoren gibt. Zum Beispiel, wenn Sie einen Richtungsvektor haben$\vec{v}_1$und ein anderer$\vec{v}_2$, der Winkel zwischen ihnen ist$g(\vec{v}_1, \vec{v}_2)$. Wenn$\vec{v}$ist dann der Tangentenvektor entlang eines Pfades$g(\vec{v}, \vec{v})$gibt so etwas wie die quadrierte infinitesimale Entfernung entlang des Pfades an (also ergibt Quadratwurzel und Integrieren die Gesamtentfernung).

Jetzt nehmen wir$g$einige grundlegende Eigenschaften haben.

• Es muss linear auf seine Argumente reagieren, so zum Beispiel$g(\vec{v}_1+\vec{v}_2, \vec{v}_3) = g(\vec{v}_1, \vec{v}_3) + g(\vec{v}_2, \vec{v}_3)$. Ohne diese Eigenschaft würde der Winkel zwischen zwei physikalischen Richtungen davon abhängen, wie Sie die Formel aufschreiben. Sie können daher vertreten$g$als ein$n \times n$Matrix, wo der skalare Wert$g(\vec{v}_1, \vec{v}_2)$ist durch Matrixmultiplikation des Zeilenvektors gegeben$\vec{v}_1$, die Matrix$g$, und der Spaltenvektor$\vec{v}_2$.
• Weiterhin benötigen wir$g$symmetrisch sein:$g(\vec{v}_1, \vec{v}_2) = g(\vec{v}_2, \vec{v}_1)$, stets. Ohne diese Eigenschaft würde der Winkel zwischen zwei Richtungen davon abhängen, welche Richtung Sie zuerst aufschreiben.
• Und falls es nicht klar war,$g$sollte nur reelle Zahlen zurückgeben. (Was würde ein komplexer Winkel überhaupt bedeuten?) Da seine Eingaben nur aus reellen Zahlen bestehen (da die Koordinaten selbst reell sind), bedeutet dies$g$da eine Matrix nur reelle Einträge haben kann.

Da wir nun eine reelle, symmetrische Matrix haben, können wir alle möglichen Standardergebnisse der linearen Algebra darauf anwenden. Insbesondere müssen die Eigenwerte einer solchen Matrix reell sein. Außerdem können wir diagonalisieren$g$an jedem Punkt so, dass seine Eigenwerte werden$0$oder$\pm1$. Physikalisch bedeutet dies, dass wir die Koordinaten an einem Punkt so ändern können, dass die Einheitsrichtungsvektoren an diesem Punkt eine quadratische Länge haben$0$oder$\pm1$.

Der Degenerierte $0$Fall ist problematisch und ist oft ein Zeichen dafür, dass Ihre mathematische Beschreibung versagt. In jedem Fall entspricht die Koordinatenrichtung dem Eigenwert$0$wäre null – eine Richtung in der Raumzeit, die von etwas genommen wird, das sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt.

Damit bleibt die$\pm1$Fälle. Wenn die Einheitskoordinatenrichtung eine quadratische Länge hat$+1$, nennen wir die Richtung raumartig . Wenn ja$-1$, nennen wir die Richtung timelike . Null ist der Grenzfall zwischen den beiden, aber auch hier ist die Verwendung von Nullkoordinaten problematisch.

Als Folge unserer angemessenen körperlich motivierten Anforderungen an$g$, gibt es keinen Platz für andere Bemaßungstypen. Wenn$g$diagonalisiert zu haben$s$ $+1$'s und$t$ $-1$'s, es entspricht$s$raumähnliche Dimensionen und$t$zeitgemäße. Insbesondere können wir durch Ändern der Koordinaten alle reellen Zahlen ungleich Null neu skalieren$\pm1$, und komplexe Zahlen sind vollständig verboten.

Über den reellen Zahlen ist jede nicht entartete quadratische Form (bis auf einen Basiswechsel) durch ihre Signatur bestimmt, die vollständig aus besteht$1$s und$-1$S.