Merkmale der Allgemeinen Relativitätstheorie, die nur auf 3+1-Dimensionen anwendbar sind?

Ich werde zunächst auf einige recht körperliche Unterschiede eingehen, die für Ihre Interessen vielleicht schon ausreichen. Danach werde ich auch erwähnen, wie mathematisch Dinge in vier Dimensionen irgendwie einzigartig sein können.

Physikalische Vorhersagen

Es gibt Ergebnisse, die von der Anzahl der räumlichen Dimensionen abhängen. Zum Beispiel hat der Riemann-Tensor$\frac{d^2 (d^2-1)}{12}$unabhängige Komponenten in$d=n+1$räumliche Dimensionen. Dies impliziert das

• In$3+1$Maße hat es$20$unabhängige Komponenten.$10$im Ricci-Tensor ,$10$im Weyl-Tensor ;
• In$2+1$Maße hat es$6$unabhängige Komponenten. Sie alle liegen im Ricci-Tensor, da der Weyl-Tensor auf Mannigfaltigkeiten mit einer Dimension kleiner als verschwindet$4$;
• In$1+1$Abmessungen, es hat eine einzige unabhängige Komponente. Er entspricht dem Ricci-Skalar .

Die Einstein-Gleichungen lauten

Betrachten wir, was im Vakuum passiert:$T_{ab} = 0$. In allen Dimensionen aber$d=2$, wir bekommen$R_{ab} = 0$. Wenn$d=4$, wir können immer noch Krümmung haben, weil nur$10$Komponenten des Riemann-Tensors befinden sich auf dem Ricci-Tensor, sodass eine nicht verschwindende Krümmung auftreten kann. Dies ermöglicht es der Erde, die Sonne zu umkreisen: Obwohl sich die Erde im Vakuum befindet, ist die Raumzeit immer noch gekrümmt.

In$d=3$, die Dinge sind nicht so. Die Einstein-Gleichungen sagen uns, dass der Ricci-Tensor verschwindet, aber alle unabhängigen Komponenten des Riemann-Tensors sind im Ricci-Tensor. Daher hinein$d=3$, gibt es im Vakuum keine Krümmung. Gravitation ist in diesem Sinne nicht mehr langreichweitig, sie ist nur dort vorhanden, wo Materie vorhanden ist.

Lassen Sie uns nun überlegen$d=2$. In diesem Fall haben wir das tatsächlich$R_{ab} = \frac{1}{2}R g_{ab}$ immer . Der Einstein-Tensor verschwindet immer. Daher implizieren die Einstein-Gleichungen eigentlich nur, dass der Spannungs-Energie-Tensor verschwinden muss, was sich stark von dem unterscheidet, was wir in anderen Dimensionen erhalten.

Kurz gesagt, die Dimensionalität der Raumzeit kann einen erheblichen Einfluss auf die physikalischen Vorhersagen der Allgemeinen Relativitätstheorie haben. Padmanabhans Gravitation: Foundations and Frontiers hat ein Kapitel, das der Schwerkraft in anderen Dimensionen gewidmet ist, die für Sie von Interesse sein könnten. Während ich die Schwerkraft nur in niedrigeren Dimensionen erwähnt habe, deckt es auch die Schwerkraft in höheren Dimensionen ab.

Vier Dimensionen sind schwer (topologisch gesprochen)

Differentialtopologie ist in vier Dimensionen ziemlich schwierig. Zum Beispiel, wenn Ihr Raum topologisch gleich (dh homöomorph) ist$\mathbb{R}^n$, dann hat es sicherlich die gleiche differentielle Struktur wie$\mathbb{R}^n$(dh sie sind diffeomorph). Es sei denn$n=4$. In diesem Fall gibt es unendlich viele mögliche unterschiedliche Differentialstrukturen, die als Exoten bezeichnet werden$\mathbb{R}^4$'s . Dies ist nur ein Beispiel dafür, wie es ruppig werden kann. Kurz gesagt, Techniken, die sich auf große Dimensionen beziehen, versagen$d=4$, und ebenso die Techniken, die sich auf niedrige Dimensionen beziehen. Wie diese Rezension von C. Manolescu es ausdrückt: „Das macht es [$d=4$] die schwierigste zu untersuchende Dimension".

Ich bin kein Experte für$d=4$Topologie und dieser Absatz haben so ziemlich alles verwendet, was ich darüber weiß, aber mein Punkt ist, dass nicht nur physikalische Vorhersagen von der Dimensionalität der Raumzeit abhängen, sondern auch allgemeinere Eigenschaften der Differentialgeometrie stark von der Dimensionalität der Mannigfaltigkeit abhängen und ziemlich werden können kompliziert im speziellen Fall von$d=4$.

Fun Fact: Die bekannten 3+1 Dimensionen sind die einzige Anzahl von Dimensionen, in denen stabile Planetenbahnen existieren.