Irgendeine "Verbindung" zwischen unzähligen unendlich vielen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten der Dimension 4 und der Raumzeit mit der Dimension vier?

Was der Dozent sagte, scheint ziemlich offensichtlich falsch zu sein. Zum Beispiel in der Dimension$2$es gibt bereits bis zur Homöomorphie unendlich viele orientierbare, zusammenhängende, kompakte Mannigfaltigkeiten. Das Euler-Merkmal (oder äquivalent die Gattung) ist eine topologische Invariante, die sie unterscheidet. Wenn zwei Mannigfaltigkeiten nicht homöomorph sind, sind sie definitiv nicht diffeomorph. Wenn man den Krümmer abkoppeln lässt dann sogar in der Dimension$1$disjunkte Vereinigungen von Kreisen ergeben eine unendliche Familie von kompakten, orientierbaren Mannigfaltigkeiten.

Darauf könnte sich der Dozent bezogen haben$\Bbb R^n$hat bis auf Diffeomorphismus in jeder Dimension genau eine glatte Struktur (die "Standard"-Struktur).$n\neq 4$. Im Maß$4$, folgt aus der Arbeit von Freedman (über topologische Eigenschaften von$4$-Verteiler) und Donaldson (auf Eigenschaften von$4$-Mannigfaltigkeiten, die die glatte Struktur erkennen können), auf denen es unzählige nicht-diffeomorphe glatte Strukturen gibt$\Bbb R^4$: es gibt viele "falsche" oder "exotische"$\Bbb R^4$'s .

Die Arbeit von Donaldson hat enge Verbindungen zur Physik (man beweist seine Hauptergebnisse mit der Yang-Mills-Theorie oder der Seiberg-Witten-Theorie, die Invarianten liefern, die nicht-diffeomorphe glatte Strukturen unterscheiden können). Es gibt jedoch derzeit keine physikalische Mainstream-Interpretation dafür, dass es sich um Fälschungen handelt$\Bbb R^4$'S. Es ist nicht klar, ob diese Tatsache irgendeine physikalische Relevanz hat.

Nebenbei sind exotische Sphären auch ein Forschungsthema in der Mathematik. Das Papier, das ich gerade verlinkt habe, zeigt das in Abmessungen$5-61$, die meisten Sphären lassen exotische Strukturen zu. Daher ist das Phänomen der „exotischen Strukturen“ auf Mannigfaltigkeiten bei weitem nicht einzigartig für Dimension vier. Beachten Sie, dass das Problem in der Dimension offen ist$4$. Wie in den Kommentaren von ACuriousMind erwähnt, gibt es einen Artikel von Witten , der versucht, exotische Sphären physikalisch zu interpretieren, obwohl ich nichts über seine Argumente weiß.

Der meist zitierte Grund warum Dimension$4$Das Besondere hat mit bestimmten differentiell-geometrischen Sätzen von außergewöhnlicher Kraft zu tun, die einen "Spielraum" erfordern, der dazu führt, dass sie nur in Dimensionen funktionieren$\geq 5$. Soweit ich weiß, ist der h-Kobordismus-Satz von Smale eines der Hauptbeispiele für dieses Phänomen. Daher,$n=4$ist die größte Dimension, in der "hochdimensionale Methoden" nicht funktionieren. Maße$1$Und$2$sind etwas einfacher zu handhaben, weil die dort auftretenden Phänomene vergleichsweise "zahm" sind. Aus geometrischer und topologischer Sicht beginnen die Dinge in der Dimension wirklich interessant zu werden$3$, während$4$ist „wild“. Ich weiß nicht viel mehr darüber, aber es gibt mehrere ausgezeichnete Bücher darüber$3$- Und$4$-Manifolds (für ersteres weiß ich besonders das Buch von Thurston ist großartig, während letzteres Bücher von Donaldson, Freedman, Freed & Uhlenbeck, Gompf & Stipsicz, etc. hat).

Du hast den Dozenten falsch zitiert.

Die Aussage war, wie viele$C^\infty$Mannigfaltigkeiten, die Sie aus einem Gegebenen machen können$C^0$Mannigfaltigkeit ( bis auf einen Diffeomorphismus ).