Wie kann man beweisen, dass eine Raumzeit maximal symmetrisch ist?

Zwei allgemeine Methoden fallen mir ein:

1. Beweisen Sie, dass der Riemann-Tensor die Form von Gleichung 3.191 annimmt, dh $$R_{abcd} = \frac{R}{d(d-1)}(g_{ac}g_{bd}-g_{ad}g_{bc})$$ Wenn Ihnen eine Metrik ausgehändigt wird, sollte dies im Prinzip eine einfache Berechnung sein. Ist die Metrik tatsächlich maximal symmetrisch, gestaltet sich die Berechnung des Riemann-Tensors meist einfacher als sonst, insbesondere wenn man ein High-Tech-Verfahren wie den Cartan-Formalismus mit Vielbeins und Spin-Verbindungen verwendet (siehe Anhang J von Carroll).
2. Finden Sie die maximale Anzahl von Killing-Vektoren. Für einen Verteiler mit Dimension$d$, es lässt maximal zu$\frac12 d(d+1)$Tötungsvektoren (diese werden in Abschnitt 3.8 von Carroll erklärt). Diese Technik ist normalerweise einfacher, wenn Sie ein gutes Gespür für die Isometrien der Metrik haben und im Grunde alle Killing-Vektoren erraten können. Zum Beispiel ist es im flachen Minkowski-Raum ziemlich offensichtlich, dass Boosts, Rotationen und Translationen alle Symmetrien der Metrik sind. Sie schreiben also die Vektoren auf, die dem Fließen in Richtung dieser Transformationen entsprechen, und können leicht überprüfen, ob sie die Gleichung von Killing erfüllen.$\nabla_{(a}\xi_{b)}=0$, oder$£_\xi g_{ab}=0$, wo$\xi^a$ist der Killing-Vektor.

In der Praxis ist die Konstruktion maximal symmetrischer Räume einfacher als es klingt. Im Allgemeinen beginnt man mit dem Verteiler$\mathbb{R}^{n,m}$mit einer flachen Signaturmetrik$(n,m)$(d. h. es gibt n raumartige Koordinaten mit a$+dx_i^2$Beitrag zum Linienelement und$m$koordiniert mit a$-dy_j^2$Beitrag). Es ist ziemlich einfach zu beweisen, dass dies maximal symmetrisch ist. Anschließend definieren Sie eine Untermannigfaltigkeit$\mathcal{S}$als Ort von Punkten, die einen festen Abstand vom Ursprung haben. Zum Beispiel, wenn wir mit angefangen haben$\mathbb{R}^{3,0}$, was einfach euklidisch ist$3$-Raum, sagen wir$\mathcal{S}$ist die Menge aller Punkte, so dass

$$x^2+y^2+z^2=r_0^2$$ für einen festen Radius $r_0$. Dies definiert natürlich eine 2-Sphäre, also einen maximal symmetrischen Raum von einer Dimension weniger aus $\mathbb{R}^{3,0}$. Sie können aus dieser Konstruktion schließen, dass die Untermannigfaltigkeit $\mathcal{S}$wird maximal symmetrisch sein, weil wir die vollständige Gruppe von Isometrien von gebrochen haben $\mathbb{R}^{n,m}$nach unten in diejenigen, die den Ursprung unverändert lassen. Also fingen wir damit an $\frac12 d(d+1)$Isometrien ( $d=n+m$) und alle Übersetzungen verloren, die es gibt $d$, also bleiben wir übrig $\frac12 d(d+1)-d = \frac12(d-1)d$Isometrien, was die maximale Anzahl für ist $d-1$Maße.

Da Sie nach maximal symmetrischen 4D-Raumzeiten gefragt haben, gibt es im Grunde drei Dinge, die Sie tun können. Der triviale ist nur der Minkowski-Raum,$\mathbb{R}^{3,1}$. Als nächstes können wir mit dem fünfdimensionalen Minkowski-Raum beginnen,$\mathbb{R}^{4,1}$, und wähle alle Punkte aus, die einen festen raumartigen Abstand vom Ursprung haben,

$$x^2+y^2+z^2+w^2-t^2 = r_0^2$$ (hier $(x,y,z,w)$sind die Raumkoordinaten). Die induzierte Metrik auf der Untermannigfaltigkeit ist der de Sitter-Raum, $dS_4$, die 4D-Raumzeit mit konstanter positiver Krümmung.

Endlich kann es losgehen$\mathbb{R}^{3,2}$der euklidische Raum mit$3$raumartige Richtungen$(x,y,z)$und$2$Zeitliche Richtungen$(t_1,t_2)$. Diesmal betrachten wir alle Punkte, die einen festen zeitlichen Abstand vom Ursprung haben,

$$x^2+y^2+z^2-t_1^2-t_2^2=-r_0^2$$ Die induzierte Metrik für diese Untermannigfaltigkeit ist der Anti-de-Sitter-Raum, $AdS_4$, die die 4D-Raumzeit mit negativer konstanter Krümmung ist.

Lokal glaube ich, dass jeder maximal symmetrische Raum wie einer der Räume aussehen wird, die mit dieser Einbettungstechnik konstruiert wurden. In einigen Fällen kann es jedoch nichttriviale topologische Merkmale geben, die dazu führen, dass sich der maximal symmetrische Raum von den eingebetteten Mannigfaltigkeiten unterscheidet, die wir gerade konstruiert haben. Ein Beispiel ist für$AdS_4$: So wie es aussieht, hat die von uns konstruierte Mannigfaltigkeit geschlossene zeitähnliche Kurven (entstanden aus der Bewegung in der$t_1$-$t_2$Flugzeug). Diese können durch „Abwickeln der Zeitrichtung“ entfernt werden, was mathematisch bedeutet, dass wir auf die einfach zusammenhängende universelle Abdeckung gelangen, die sich topologisch von der unterscheidet$AdS_4$Wir haben gerade gebaut, aber lokal sieht es genauso aus.