Gibt es eine einfache Klassifikation maximal symmetrischer Räume?

Es gibt zwar nur drei (Klassen) maximal symmetrische Geometrien , klassifiziert nach ihrer Krümmung. Aber es gibt noch mehr Raumzeiten. Wenn Sie einen der drei maximal symmetrischen Räume auswählen$(\mathbb R^n, \eta)$(Minkowski-Raum),$(\mathbb R \times S^{n-1}, d)$(de Sitter-Raum) und$(\mathbb R^n, a)$(Anti-de-Sitter-Raum), dann betrachte irgendeine Untergruppe$\Gamma$der Symmetriegruppe, die reibungslos, frei und richtig auf diese Raumzeiten einwirkt, dann die Raumzeit$M / \Gamma$ist auch eine maximal symmetrische Raumzeit.

Es gibt viele solcher Raumzeiten. Für den Minkowski-Raum existiert eine ganze Wäscheliste davon: der zeitähnliche Zylinder und der raumähnliche Zylinder, beide mit Topologie$\mathbb R^n / \mathbb Z$, die Torus-Raumzeit$\mathbb R^n / \mathbb Z^n$, die Klein-Flaschen-Raumzeit, Misner-Raum, Möbiusstreifen-Raumzeiten, der nicht-zeitorientierbare Zylinder$(\mathbb R^n / \mathbb Z) / (I \times T)$und so weiter.

Es gibt auch viele Variationen des Anti-de-Sitter-Raums (was klassisch als AdS bezeichnet wird, ist nicht das, was ich Ihnen gesagt habe, sondern einer dieser Quotienten). Das klassische AdS hat eine Topologie$\mathbb R^{n-1} \times S^1$. Es gibt Varianten von AdS, die nicht kausal, orientierbar, zeitorientiert usw. sind.

Dasselbe gilt für den de Sitter-Raum, der unter seinen berühmten Topologien die polyedrischen Universen umfasst, die eine der diskreten Rotationsgruppen verwenden.

Bearbeiten: Wie AVS betont, sind diese Räume nicht maximal symmetrisch, sondern nur lokal maximal symmetrisch (sie sind auf der gesamten Mannigfaltigkeit nicht rotationsinvariant). Die vollständige Klassifikation der Raumzeiten konstanter Krümmungen findet sich bei Wolf (Kapitel 11) und lautet wie folgt:

Alle homogenen isotrop zusammenhängenden pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten (von Signatur$(1, n-1)$) werden wie folgt klassifiziert :

• Wenn der Verteiler flach ist, dann$M$ist isometrisch zu$\mathbb{R}^{1, n-1}$(Satz 11.6.8).
• Wenn der Verteiler eine konstante Krümmung hat$K > 0$, dann ist es eine Abdeckung von$S^{1, n-1} / \{ \pm I\} = \mathbb{R}^1 \times S^{n-1} / \{ \pm I\}$(Satz 11.6.7)
• Wenn der Verteiler eine konstante Krümmung hat$K < 0$, dann ist es eine Abdeckung von$\mathbb{H}^{1, n-1} / \{ \pm I\} = S^1 \times \mathbb{R}^{n-1} / \{ \pm I\}$(Satz 11.6.7)

Diese entsprechen dem Minkowski-Raum, Quotienten der de Sitter-Raumzeit (dazu gehören Räume wie die de Sitter-Raumzeit selbst sowie die elliptischen de Sitter-Räume) und Quotienten (und Abdeckungen) des Anti-de Sitter-Raums.

Wenn Sie Riemannsche Mannigfaltigkeiten einbeziehen möchten, ist die Klassifizierung wie folgt. Nach Satz 8.12.2 sind alle homogenen Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit zwei Punkten (äquivalent zu homogen und isotrop) isometrisch zu einer der folgenden:

• Euklidischer Raum$\mathbb{R}^n = \mathrm{E}^n / \mathrm{O}(n)$
• Der$n$-Kugel$S^n = \mathrm{SO}(n + 1) / \mathrm{SO}(n)$
• Der reale projektive Raum$\mathbb{R}\mathrm{P}^n = \mathrm{SO}(n + 1) / \mathrm{O}(n)$
• Der komplexe projektive Raum$\mathbb{C}\mathrm{P}^n = \mathrm{SU}(n + 1) / \mathrm{U}(n)$
• Der quaternionische Projektivraum$\mathbb{H}\mathrm{P}^n = \mathrm{Sp}(n + 1) / \mathrm{Sp}(n) \times \mathrm{Sp}(1)$
• Die Cayley-Projektionsebene$\mathrm{CayP}^2 = \mathrm{F}_4 / \mathrm{Spin}(9)$
• Der reelle hyperbolische Raum$\mathbb{H}^n(\mathbb{R}) = \mathrm{SO}(1, n-1) / \mathrm{SO}(n)$
• Der komplexe hyperbolische Raum$\mathbb{H}^n(\mathbb{C}) = \mathrm{SU}(1, n-1) / \mathrm{U}(n)$
• Der quaternionische hyperbolische Raum$\mathbb{H}^n(\mathbb{H}) = \mathrm{Sp}(1, n-1) / \mathrm{Sp}(n) \times \mathrm{Sp}(1)$
• Die Cayley-Hyperbelebene$\mathbb{H}^n(\mathrm{Cay}) = \mathrm{F}^*_4 / \mathrm{Spin}(9)$

(ein bisschen wie eine Notationskollision:$\mathbb{H}^n$ist der$n$-dimensionaler hyperbolischer Raum während$\mathbb{H}$ist der Körper der Quaternionen)

Die Fälle von Interesse in der Physik (die$3$-Mannigfaltigkeiten, die in der FRW-Metrik verwendet werden) sind der euklidische Raum,$3$-Sphäre, hyperbolischer Raum und reeller projektiver Raum (der reelle projektive Raum hat die gleiche Krümmung wie der$3$-Sphäre, aber eine andere Topologie). Dies liegt daran, dass alle Mannigfaltigkeiten, die aus komplexen Gruppen aufgebaut sind, geradedimensional sind (wie z$\mathbb{C}\mathrm{P}^n$Sein$(2n + 2)$-dimensional).