Muss jede Isometrie einen zugeordneten Killing-Vektor haben?

Ich verstehe, dass die Flüsse von Killing-Vektorfeldern Isometrien sind und dass Gruppen von Isometrien mit einem Parameter einen zugeordneten Killing-Vektor haben, der sie generiert, aber geben Ihnen Ihre Killing-Vektoren garantiert alle möglichen Isometrien der Mannigfaltigkeit? Ich denke, was ich zu fragen versuche, ist, kommen Isometrien unbedingt in Familien vor oder können Sie "isolierte" Isometrien haben, die kein zugeordnetes Killing-Vektorfeld haben können?

Ihre Formulierung "isolierte" Isometrien ist ziemlich aufschlussreich; Wie in den Antworten von V. Moretti und Joshphysics gehören die nicht mit dem Töten verbundenen Isometrien zu einer diskreten Untergruppe. Du zeigst ein beachtliches mathematisches Gespür!

Antworten (2)

Die Gruppe von Isometrien einer gegebenen zusammenhängenden glatten (semi) Riemannschen Mannigfaltigkeit ist immer eine Lie-Gruppe. Eine Lie-Gruppe kann jedoch Untergruppen von diskreten Isometrien enthalten, die, abgesehen von der Identität, nicht durch kontinuierliche Isometrien dargestellt werden können und daher keine ihnen zugeordneten Killing-Vektoren haben. (Tatsächlich können nur einige Elemente der verbundenen Komponente, einschließlich der Identität, Killing-Feldern zugeordnet werden.)

Zum Beispiel unter Bezugnahme auf R 3 Ausgestattet mit der Standardmetrik ist die Lie-Gruppe von Isometrien das semidirekte Produkt von Raumtranslationen R 3 und Drehungen Ö ( 3 ) um einen Fixpunkt. Die zweitgenannte Untergruppe der Isometrien, Ö ( 3 ) , lässt eine diskrete Untergruppe zu: { ich , − ich } . Die räumliche Umkehrung − ich kann keinem Killing Field zugeordnet werden. Ebenso alle Symmetrien in − ich ( S Ö ( 3 ) ) kann nicht mit Tötungsfeldern in Verbindung gebracht werden.

Interessant. Ich denke, ich kann erahnen, dass diese diskreten Isometrien nicht Teil der verbundenen Komponente der Identität sein können, weil sie dann eindeutig Teil einer Familie wären, aber können andere verbundene Komponenten der Isometriegruppe mit Tötungsvektoren assoziiert werden und sind da irgendwie zu sagen, welche? Oder können Sie keine "großen" verbundenen Komponenten außerhalb der Identität haben, nur kleine diskrete Isometriepunkte?
Eigentlich habe ich nie über diese Probleme nachgedacht. Wenn die Lie-Gruppe von Isometrien kompakt ist, dann gehört jedes Element in der verbundenen Komponente der Identität zu einer Ein-Parameter-Untergruppe und führt daher, wenn es auf die Mannigfaltigkeit einwirkt, zu einem Killing-Feld. Wenn die Gruppe nicht kompakt ist, ist es möglich, dass es Punkte in der verbundenen Komponente gibt, die nicht eine Untergruppe mit einem Parameter bleiben (obwohl sie über eine stückweise glatte Kurve mit der Identität verbunden sind). In diesem Fall bin ich mir nicht sicher, ob diese Isometrien Killing Fields zugeordnet sind.
Betrachten Sie die Minkowski-Raumzeit. Die Lorentzgruppe gehört zur Gruppe der Isometrien und ist nicht kompakt. Eine generische Transformation des Formulars Λ R , wo Λ ist ein Schub und R a 3 -Rotation, gehört zu keiner Parameteruntergruppe. Es ist keinem Tötungsvektor zugeordnet, während separat Λ und R sind.
Elemente anderer verbundener Komponenten, die sich von denen einschließlich der Identität unterscheiden, können nicht mit Tötungsvektoren in Verbindung gebracht werden. Dies liegt daran, einen Killing-Vektor zu definieren p du musst dich bewegen p unter der Wirkung einer glatten Kurve von Transformationen der Lie-Gruppe von Isometrien, die durch die Identität (wenn p Ist repariert). Diese Kurve kann daher nur durch Punkte gehen, die konstruktionsbedingt zur Zusammenhangskomponente der Identität gehören.
Lieber Valter, können Sie eine Referenz für Ihren ersten Satz angeben: Impliziert Ihr erster Satz eine endlichdimensionale Lie-Gruppe, wenn die Mannigfaltigkeit endlichdimensional ist, oder lassen Sie eine zählbare (oder andere) Dimension der Lie-Gruppe zu?
Hallo Rod. Siehe zum Beispiel O'Neills Buch über Semi-Riemannsche Geometrie, eines der letzten Kapitel ... wenn die Mannigfaltigkeit endlich dunkel ist, ist die Lie-Gruppe auch endlich dunkel.
@V.Moretti Tolle Referenz: Heute bekommen, danke Valter

Ja, Sie können solche "isolierten" Isometrien haben.

Betrachten Sie die reale Linie R und die Inversionsabbildung x → − x . Diese Isometrie entsteht nicht durch einen Tötungsvektor, weil sie nicht „kontinuierlich mit der Identität verbunden“ ist.

Muss jede Isometrie einen zugeordneten Killing-Vektor haben?
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