Definition von „statischen Raumzeiten“ aus Killing vectors

Betrachten wir die folgende Metrik in$2+1$Maße:

$$\mathrm{d}s^2 = \tilde{g}_{tt} \, \mathrm{d}t^2 + g_{rr} \, \mathrm{d} r^2 + g_{\phi \phi} \,( \mathrm{d} \phi - \omega \, \mathrm{d} t)^2,$$ wobei die metrischen Komponenten Funktionen von sind$r$Und$\phi$nur. (Beachten Sie, dass die metrische Komponente$g_{tt} = \tilde{g}_{tt} + \omega^2 g_{\phi \phi}<0$.)

Zwar ist diese zweidimensionale Hyperfläche durch eine Konstante definiert$t$wird für alle das gleiche Linienelement haben$t$, es ist nicht wahr, dass der Killing-Vektor$\xi^\mu = (1, 0, 0)$orthogonal zu dieser Hyperfläche sein.

Beachten Sie, dass wenn wir sagen, dass ein Vektor orthogonal zu einer Oberfläche ist, dies bedeutet, dass der Vektor orthogonal zu allen Vektoren ist, die die Oberfläche tangieren. Die Hyperfläche der Konstante$t=t_0$kann durch die Vektorgleichung beschrieben werden,

$$x^\mu = ( t_0, \, r , \, \phi),$$ Wo$r$Und$\phi$Parametrisieren Sie die Oberfläche. Lassen$y_a$seien Koordinaten auf der Hyperfläche. Die natürlichen Koordinaten auf der Hyperfläche sind natürlich$r$Und$\phi$. Der Satz von Tangentenvektoren auf der Hyperfläche ist gegeben durch: $$e^\mu_{(a)} = \frac{\partial x^\mu}{\partial y^a}.$$ Explizit sind die Komponenten der beiden Tangentenvektoren gegeben durch $$e^\mu_{(r)} = (0, 1, 0) ,$$ Und $$e^\mu_{(\phi)} = (0, 0, 1) .$$ Wir werden sagen, dass der Killing-Vektor orthogonal zur Hyperfläche ist, wenn für jeden$a$, $$g_{\mu \nu} \xi^\mu e^\nu_{(a)} = 0.$$ Beachten Sie, dass diese Bedingung erfüllt ist, wenn$a=r$. Aufgrund des Vorhandenseins der nicht-diagonalen Komponente der Metrik, die nicht Null ist, $$g_{t\phi} = - \omega g_{\phi \phi},$$ Wir würden haben, $$g_{\mu \nu} \xi^\mu e^\nu_{(\phi)} = g_{t\phi} = - \omega g_{\phi \phi}.$$ Wann also$\omega \neq 0$, der Killing-Vektor ist niemals orthogonal zur Hyperfläche der Konstante$t$. Wenn$\omega = 0$, wäre der Killing-Vektor orthogonal zur Hyperfläche und die Raumzeit wäre statisch.

Intuitiv ist eine Raumzeit statisch, wenn das Linienelement unter Zeitumkehr invariant ist$t \to - t$, im üblichen Koordinatensystem. Um eine genauere Aussage zu treffen, handelt es sich um ein zeitähnliches Killing-Vektorfeld$\xi$erfüllt

$$\xi_{[\mu} \nabla_\nu \xi_{\rho]} =0,$$ dann ist sie orthogonal zur Hyperfläche und die Raumzeit ist statisch. Siehe die Diskussion in Abschnitt 1.3 der Anmerkungen, auf die Sie sich beziehen. Sie können sich auch das GR-Lehrbuch von Wald ansehen.

Betrachten Sie als alternativen, eher geometrischen Gesichtspunkt den Killing-Vektor$\partial_t$an jedem Punkt, und stellen Sie sich die (Hyper-)Ebene orthogonal zu jedem Vektor vor. Das Vektorfeld ist orthogonal zur Hyperfläche, wenn es möglich ist, alle diese Ebenen als Tangentialebenen einer Familie von Hyperflächen anzupassen.

Betrachten Sie als Beispiel ein radiales Vektorfeld im euklidischen 3D-Raum und stellen Sie sich wieder alle Ebenen vor, die an jedem Punkt im Raum orthogonal zum Vektor stehen. Ist es möglich, den Raum so mit Flächen zu füllen, dass jede Ebene eine der Flächen tangiert? Ja, natürlich, indem man Kugeln verwendet. Die Ebenen, die allen Vektoren mit festem Radius entsprechen, passen zusammen, um eine Kugel zu bilden.

Aber nehmen Sie jetzt die Kerr-Raumzeit und schauen Sie einfach auf die Äquatorialebene, damit wir etwas Dreidimensionales haben, das wir uns vorstellen können. Die "horizontalen" Ebenen, die von den Vektoren aufgespannt werden$\{\partial_r, \partial_\phi\}$an jedem Punkt, sind nicht orthogonal zum Killing-Vektor! Das liegt natürlich an der$g_{t\phi}$Element in der Metrik. Stattdessen die Ebene orthogonal zu jedem Vektor$\partial_t$ist geneigt ; sie wird von den Vektoren aufgespannt$\partial_t$Und$- g_{t\phi} \partial_t + g_{tt}\partial_\phi$, zeigt also etwas in Drehrichtung.

Und das macht den zeitähnlichen Killing-Vektor nicht orthogonal zur Hyperfläche, und Sie können sehen, warum dies eng mit der Rotation der Raumzeit und dem Ziehen des Rahmens zusammenhängt. Wenn es keine Rotation gab, jeder$\partial_t$wäre orthogonal zu einer "horizontalen" Ebene, und diese Ebenen könnten zu einer großen zusammenpassen$t = \text{const}$Oberfläche. Da die Ebenen jedoch geneigt sind, können Sie sie nicht tangential zu einer Oberfläche machen