Sind alle maximal symmetrischen Raumzeiten Raumzeiten mit konstanter Krümmung?

Wenn die Metrik Riemannsch (positiv) ist, ist Ihre Vermutung (eine maximal symmetrische Raumzeit ist eine konstante Raumzeitkrümmung) ein bekanntes Theorem: Theorem 3.1 in Transformation Groups in Differential Geometry von S. Kobayashi. Aus dem Beweis scheint mir, dass das Ergebnis auch im Lorenzschen Fall gelten sollte, aber ohne nähere Prüfung bin ich mir nicht ganz sicher.

Dies ist eine alte Frage, aber ich werde Valter Morettis Antwort erweitern. Ja, maximal symmetrische pseudo-riemannsche Räume (in dem Sinne, dass sie die maximale Anzahl von Killing-Vektorfeldern haben) sind Räume mit konstanter Krümmung.

Der Beweis findet sich in Weinberg: Gravitation and Cosmology, ungefähr auf Seite 376. Weinbergs Argumente sind nicht ganz streng, können aber unter Verwendung des Frobenius-Integrierbarkeitssatzes so gemacht werden.

Ein Killing-Vektorfeld$\xi^\mu$erfüllt

Definieren$\chi_{\mu\nu}=\nabla_\mu\xi_\nu$, reduziert sich dies auf das überbestimmte PDE-System

Wenn die Mannigfaltigkeit die maximale Anzahl von Killing-Vektorfeldern zulässt, bedeutet dies, dass das obige Gleichungssystem für jeden Anfangswert gelöst werden kann$\xi_\sigma(x_0)=a_\sigma,\quad\chi_{\mu\nu}(x_0)=b_{\mu\nu}$. Die Gleichung muss also vollständig integrierbar sein.

Der Satz von Frobenius gibt die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für vollständige Integrierbarkeit an. Wir können tatsächlich eine vollständig kovariante Version des Theorems wie folgt verwenden:

1. Wir bilden zunächst die zweiten kovarianten Ableitungen der Gleichung: $$\nabla_\mu\nabla_\nu\chi_{\rho\sigma}=-\nabla_\mu(R^\tau_{\ \nu\rho\sigma}\xi_\tau)=-\nabla_\mu R^{\tau}_{\ \nu\rho\sigma}\xi_\sigma-R^\tau_{\ \nu\rho\sigma}\nabla_\mu\xi_\sigma \\ \nabla_{\mu}\nabla_\nu\xi_\rho=\nabla_\mu\chi_{\nu\rho}.$$
2. Wir ersetzen aus der Gleichung hier: $$\nabla_\mu\nabla_\nu\chi_{\rho\sigma}=-\nabla_\mu R^{\tau}_{\ \nu\rho\sigma}\xi_\sigma-R^\tau_{\ \nu\rho\sigma}\chi_{\mu\sigma} \\ \nabla_\mu \nabla_\nu\xi_\rho=-R^\sigma_{\ \mu\nu\rho}\xi_\sigma.$$
3. Die Funktionen$\xi_\sigma$Und$\chi_{\rho\sigma}$müssen die Ricci-Identitäten erfüllen, also wenn wir von den obigen Gleichungen selbst mit subtrahieren$\mu,\nu$vertauscht bekommen wir $$-R^\tau_{\ \rho\mu\nu}\chi_{\tau\sigma}-R^\tau_{\ \sigma\mu\nu}\chi_{\rho\tau}=-\nabla_\mu R^{\tau}_{\ \nu\rho\sigma}\xi_\sigma+\nabla_\nu R^{\tau}_{\ \mu\rho\sigma}\xi_\sigma-R^\tau_{\ \nu\rho\sigma}\chi_{\mu\sigma}+R^\tau_{\ \mu\rho\sigma}\chi_{\nu\sigma} \\ -R^\tau_{\ \rho\mu\nu}\xi_\tau=-R^\tau_{\ \mu\nu\rho}\xi_\tau+R^\tau_{\ \nu\mu\rho}\xi_\tau.$$

Nach der Manipulation [es können Vorzeichenfehler auftreten, weil ich Weinbergs Konventionen nicht überprüft habe, sondern meine eigenen mit der Ricci-Identität verwendet habe], reduziert sich dies auf das Gleichungssystem [ich kopiere dies von Weinberg]

Diese Gleichungen müssen für alle Werte von gültig sein$\xi_\lambda$und alle antisymmetrischen Werte von$\chi_{\kappa\lambda}$.

Ich werde dies nicht explizit ausschreiben, sondern festlegen$\xi_\lambda=0$und Antisymmetrierung an$\kappa,\lambda$, dann "stornieren"$\chi_{\kappa\lambda}$ergibt einen Satz von Gleichungen (zu finden bei Weinberg). Wenn wir die Spur auf ein geeignetes Indexpaar nehmen, finden wir

Wenn$m>2$($m$die Dimension des Raums ist) gibt das übliche Lemma von Schur an$R$muss eine Konstante sein. Wenn$m=2$wir können den zweiten Satz von Integrierbarkeitsbedingungen verwenden (setting$\chi_{\kappa\lambda}=0$Und$\xi_\lambda$willkürlich) zusammen mit der Bianchi-Identität, um dies zu zeigen$R$ist konstant für$m=2$sowie.

Maximal symmetrische Räume sind also auch Räume mit konstanter Krümmung. Die metrische Signatur spielt hier keine Rolle.