Gibt es ein intuitives/geometrisches Bild für die Austauschsymmetrie des Riemann-Tensors? Ich habe viele algebraische Ableitungen gesehen, würde aber gerne verstehen, ob die Symmetrie etwas Intuitives oder Offensichtliches ausdrückt (zumindest im Nachhinein).
Hier ist, was ich bisher ausgearbeitet habe (bitte lass es mich wissen, wenn ich es falsch gemacht habe!)
Ich weiß nicht, ob diese Notation Standard ist (ich kann die Vielfalt der Konventionen nicht ganz nachvollziehen), also entschuldige ich mich, wenn sie deaktiviert ist. Arbeiten Sie mit einer torsionsfreien, metrischen Verbindung, nämlich der Levi-Civita Connection.
Definieren Sie den Reimann-Krümmungstensor als die infinitesimale Rotationsmatrix, die sich aus dem parallelen Transport eines Vektors ergibt um eine parallelogrammförmige Schleife definiert durch Und .
(2) Antisymmetrie in den zweiten beiden Indizes. Eine infinitesimale Rotationsmatrix (wie eine Lorentz-Transformation) ist antisymmetrisch, wenn ihre Indizes verringert werden. Setzen Sie den oberen Index in die letzte Position,
(3) Erste Bianchi-Identität (über diese Frage auf Math Stack Exchange). Die torsionsfreie Verbindung zwingt die Seitenflächen eines Würfels zum Schließen. Die Bianchi-Identität drückt aus, dass sie ein Dreieck bilden.
(4) Austauschsymmetrie. Aus diesen drei Eigenschaften können wir die Austauschsymmetrie ableiten. Zum Beispiel in diesen Notizen . Sie können es auch erhalten, wie ich gesehen habe, indem Sie die Levi-Civita-Verbindung in Bezug auf die Metrik erweitern.
Ich suche etwas anderes als reine Indexjonglage! Zum Beispiel eine Art Bild ähnlich dem in der obersten Antwort auf diesen Math Stack Exchange-Beitrag.
(5) Bonus: Danach werde ich zur zweiten Bianchi-Identität kommen, stelle ich mir vor. Gibt es dafür eine gute Intuition? Wikipedia gibt es wie folgt, obwohl ich wetten möchte, dass die Indizes in einer anderen Reihenfolge sind, als ich sie angegeben habe.
Ich kann eine andere Perspektive auf den Riemann-Tensor erläutern. Es ist hilfreich, es nicht so zu schreiben sondern eher als um damit zu beginnen, die beiden Arten von Indizes zu unterscheiden, obwohl sie über die gleiche Spanne laufen.
Dies liegt daran, dass, wenn wir das Rahmenbündel betrachten, das tatsächlich a ist Hauptbündel, der Verbindung, zu der eine Form (um einen Abschnitt zurückgezogen) gehört , dh es ist eine Lie-Algebra-wertige Form.
Die Lie-Algebra ist matrixbewertet, wenn wir also die Krümmung nehmen, die eine zweiwertige Lie-Algebra ist, haben wir zwei Indizes dafür und zwei weitere Indizes, da es sich um eine Zwei-Form auf dem Grundraum handelt.
Als solches muss es eindeutig antisymmetrisch sein Indizes, durch das, was wir über Formen wissen. Aber warum auch antisymmetrisch in ? Erinnern Sie sich, dass wir uns mit der Existenz einer Metrik auf orthogonale Frames beschränken können, und dann sind genau wegen der antisymmetrischen Matrizen, die die Lie-Algebra der orthogonalen Gruppe darstellen, antisymmetrisch.
Natürlich werden die Identitäten nicht viel bedeuten, es sei denn, Sie sind von Riemann-Art oder Sie beginnen zu verstehen, wo es Sinn macht; in Kontexte von, sagen wir, Raumzeit in GR gesetzt und weiter darauf beschränkt, nur auf Vektoren mit physikalischer Bedeutung einzuwirken. Beginnen Sie beispielsweise mit der Bel-Zerlegung. Dann führe es auf bloßes Indexjonglieren zurück.
Ein weiterer offensichtlicher erster Schritt ist die Gleichung im leeren Raum halten.
Ein weiterer ist, dass der Einstein-Tensor gleich dem Stress-Energie-Tensor ist, der die einzige Möglichkeit ist, das Prinzip der allgemeinen Kovarianz in eine Gleichung zu bringen.
Ravi Charan
Benutzer76568